Horizontale asymptoten bij standaardfuncties
Een asymptoot laat zien hoe een grafiek zich gedraagt als x heel groot of heel klein wordt. Bij exponentiële functies komt dit vaak voor in examenvragen.
Een exponentiële functie heeft de vorm f(x) = b^x, met b groter dan 0 en b ongelijk aan 1. De grafiek groeit of daalt en blijft altijd boven de x-as. Hij raakt de x-as nooit.
Voor heel grote of heel kleine waarden van x komt de grafiek steeds dichter bij de x-as. De lijn y = 0 is dan de horizontale asymptoot. Bij een grondtal groter dan 1 gebeurt dit voor heel kleine x. Bij een grondtal tussen 0 en 1 gebeurt dit voor heel grote x.
Bij f(x) = b^x + c ligt de asymptoot op y = c. De grafiek is dan over c omhoog of omlaag geschoven, en de asymptoot schuift mee.
Wil je een asymptoot beredeneren, kijk dan naar wat er met het voorschrift gebeurt als x heel groot wordt. Bij een breuk let je op de noemer. Wordt die heel groot, dan nadert de breuk tot 0.
Schrijf je beredenering in gewone zinnen. Eerst wat er met de noemer gebeurt, daarna wat er met de breuk gebeurt. Een getal of een grafiek is hierbij niet genoeg.
Onthoud
Bij b^x met b groter dan 0 is de horizontale asymptoot y = 0.
De grafiek raakt de asymptoot nooit, hij nadert hem alleen.
Bij b^x + c verschuift de asymptoot naar y = c.
Een breuk met een heel grote noemer nadert tot 0.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Bij deze vraag gaat het om een beredenering waarom y = 0 de horizontale asymptoot van f is. Een getallenvoorbeeld of een verwijzing naar een grafiek telt niet mee.
- 1
Als x heel groot wordt, wordt de noemer 6^x − 2 ook heel groot.
Veelgemaakte fouten
Een getal invullen of naar een grafiek wijzen is geen beredenering. Beschrijf liever wat het voorschrift doet als x heel groot wordt.
Een asymptoot wordt niet bereikt. De grafiek komt de lijn steeds dichter, maar raakt hem nooit.
Bij b^x kijk je niet alleen naar x heel groot. Bij een grondtal groter dan 1 nadert de grafiek y = 0 juist voor heel kleine x.
Snel checken
Welke horizontale asymptoot heeft de grafiek van g(x) = 3^x + 1?
Wat gebeurt er met de waarde van h(x) = (1/2)^x als x heel groot wordt?