Afgeleide van samengestelde functies met somregel, verschilregel en kettingregel
Veel functies bestaan uit meerdere delen. Met de somregel, verschilregel en kettingregel bepaal je de afgeleide van zo'n functie stap voor stap.
Veel functies bestaan uit meerdere delen. Bij zo'n functie leid je elk deel apart af. Daarna zet je de delen weer samen.
De somregel en de verschilregel gelden voor termen die je optelt of aftrekt. De afgeleide van een som is de som van de afgeleiden. Bij een verschil geldt hetzelfde. Een constante factor blijft gewoon staan.
De kettingregel gebruik je als een functie is opgebouwd uit een binnenfunctie en een buitenfunctie. Eerst leid je de buitenfunctie af, met de binnenfunctie als geheel. Daarna vermenigvuldig je met de afgeleide van de binnenfunctie. Zo ontstaat (u^n)' = n·u^(n−1)·u'.
Machtsfuncties met rationale exponenten werken met dezelfde regels. Een wortel schrijf je eerst als macht met een breuk als exponent. Bij √x is dat x^(1/2). Daarna verlaag je de exponent met 1 en vermenigvuldig je met de exponent.
In de uitwerking hieronder komen alle drie de regels samen.
Onthoud
Leid elk deel van de functie apart af en tel de afgeleiden op of trek ze af.
Een constante factor blijft staan tijdens het afleiden.
Bij een kettingfunctie vermenigvuldig je met de afgeleide van de binnenfunctie.
Schrijf een wortel eerst als macht met een breuk als exponent.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Bepaal de afgeleide van f(x) = (x² + 1)³ − 4√x.
- 1
Splits f in twee delen: (x² + 1)³ en −4√x.
Veelgemaakte fouten
Het vermenigvuldigen met de afgeleide van de binnenfunctie wordt vaak vergeten. Vermenigvuldig na het afleiden van de buitenfunctie altijd met de afgeleide van wat binnen de haakjes staat.
Een wortel wordt soms direct afgeleid zonder hem om te schrijven. Schrijf √x eerst als x^(1/2), dan past de machtsregel.
Bij een negatieve exponent wordt de nieuwe exponent soms fout berekend. Bij x^(−2) wordt de nieuwe exponent −3, niet −1.
Snel checken
Wat is de afgeleide van f(x) = (x³ + 2)⁴?
Wat is de afgeleide van f(x) = 5x^(3/2) − 2/x?