Formules herschrijven tot een gelijkwaardige formule
Bij dit onderwerp veranderst de vorm van een formule zonder dat de betekenis verandert. Dat is nodig om een verband te bewijzen of om een formule in een handige vorm te krijgen.
Twee formules zijn gelijkwaardig als ze voor elke invulling dezelfde uitkomst geven. Je herschrijft een formule dus zonder de betekenis te veranderen.
Je mag aan beide kanten van het isteken dezelfde bewerking doen, zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen door iets dat niet nul is. Daarnaast gebruik je regels die je al kent, zoals haakjes wegwerken, breuken gelijknamig maken en machten samenvoegen.
Het doel is meestal de gewenste variabele alleen aan één kant zetten. Bij een breuk vermenigvuldig je eerst met de noemer, zodat de breuk verdwijnt. Daarna kun je makkelijker herleiden.
Let op machten. Er geldt dat (1 − p)^(n+1) gelijk is aan (1 − p)^n · (1 − p). Zo kun je gelijke delen buiten haakjes halen en samennemen.
Noteer ook welke waarden je uitsluit. Je mag niet delen door nul, en bij een lengte of aantal mag een noemer niet nul worden. Schrijf dat er bij het herschrijven gewoon bij.
Als je twee kanten van een vergelijking hebt herleid, controleer je of je dezelfde bewerking aan beide kanten hebt gedaan. Zo blijft de vergelijking gelijkwaardig aan het begin.
Onthoud
Gelijkwaardig betekent dezelfde uitkomst voor elke invulling
Dezelfde bewerking aan beide kanten houdt de gelijkheid in stand
Vermenigvuldig met de noemer om breuken weg te werken
Let bij machten op de regels voor (1 − p)^n en (1 − p)^(n+1)
Noteer welke waarden je uitsluit, zoals een noemer die nul is
Voorbeeld uit een echt examen
ex2
Bewijs dat formule 3 volgt uit de eis T(n) = T(n + 1), met formule 2 als uitgangspunt.
- 1
Vul formule 2 in voor T(n) en voor T(n + 1). Dan staat er N · (1/n + 1 − (1 − p)^n) = N · (1/(n + 1) + 1 − (1 − p)^(n + 1)).
Veelgemaakte fouten
Je deelt maar één kant of trekt maar aan één kant iets af. Doe elke bewerking aan beide kanten, zodat de gelijkheid blijft bestaan.
Je schrijft 1/n − 1/(n + 1) gelijk aan 1/(n − n + 1). Reken de breuken gelijknamig met de noemer n(n + 1), dan zie je dat de teller 1 wordt.
Je denkt dat (1 − p)^(n + 1) gelijk is aan (1 − p)^n + (1 − p). Bij machten met gelijke grondtal tel je de exponenten op, dus vermenigvuldig je met (1 − p).
Snel checken
Gegeven is de formule 3x − 2y = 6. Welke formule is hiermee gelijkwaardig?
Gegeven is de formule 1/a + 1/b = 1/c. Welke formule geeft b gelijkwaardig weer?