Optimaliseren met de afgeleide
Bij een optimaliseringsprobleem zoek je de grootste of kleinste waarde die een situatie kan geven. Dit onderwerp komt op het examen terug bij vragen over oppervlakte, volume en kosten.
Bij een optimaliseringsprobleem zoek je een maximum of minimum van één grootheid. Denk aan de grootste oppervlakte, het grootste volume of de kleinste kosten.
Het werk gaat in een paar stappen. Eerst stel je een formule op voor de grootheid die je wilt optimaliseren. Die formule bevat vaak twee variabelen. Met het verband uit de opgave schrijf je alles in één variabele. Zo houd je één functie over.
Daarna bepaal je het domein. Je kijkt welke waarden zinvol zijn, bijvoorbeeld omdat een lengte niet negatief kan zijn.
Vervolgens zoek je de extremen. Je kunt de afgeleide gelijk aan nul stellen en oplossen. Met het teken van de afgeleide zie je dan of het om een maximum of minimum gaat. Je kunt ook de nulpunten van de afgeleide en de randen van het domein controleren met de functiewaarden. Met de grafische rekenmachine lees je het maximum of minimum van de grafiek af, als de opgave dat toestaat.
Tot slot vertaal je de uitkomst terug naar de vraag. Een x-waarde is niet altijd het antwoord. Soms is de gevraagde grootheid de functiewaarde zelf.
Onthoud
Een optimaliseringsprobleem gaat over het maximum of minimum van één grootheid.
Eerst stel je een formule op voor de grootheid die je wilt optimaliseren.
Met het verband uit de opgave schrijf je die formule in één variabele.
Het domein laat zien welke waarden zinvol zijn en welke randen je moet controleren.
Daarna zoek je de extremen met de afgeleide of numeriek-grafisch met de rekenmachine.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Uit een vierkant stuk karton van 24 cm bij 24 cm knip je in elke hoek een vierkantje met zijde x cm weg. Van de rest vouw je een open doosje. Voor welke x is het volume het grootst?
- 1
Formule voor het volume: de bodem is (24 − 2x) bij (24 − 2x) en de hoogte is x, dus V(x) = x(24 − 2x)².
Veelgemaakte fouten
Neem de afgeleide pas nadat je de formule in één variabele hebt geschreven, anders krijg je een onjuiste afgeleide.
Een nulpunt van de afgeleide is niet altijd een maximum, dus controleer ook de randen van het domein en het teken van de afgeleide.
Lees goed welke grootheid gevraagd wordt, want de x-waarde die je vindt is vaak niet het gevraagde antwoord.
Snel checken
Een rechthoek heeft een omtrek van 40 cm. Welke grootste oppervlakte kan die rechthoek hebben?
Gegeven zijn A = xy en x + y = 30. Wat is de beste eerste stap om A met één variabele te schrijven?