Afgeleiden van e-machten en de natuurlijke logaritme
Het getal e en de natuurlijke logaritme ln komen terug bij de afgeleiden van exponentiële en logaritmische functies. Met deze afgeleiden controleer je ook of een functie een primitieve is.
Bij de functie f(x) = e^x is de afgeleide weer e^x. Daarom is het getal e zo handig in de wiskunde.
Als de exponent een functie g(x) is, gebruik je de kettingregel. De afgeleide van e^(g(x)) is g'(x) · e^(g(x)). Daarom vermenigvuldig je met de afgeleide van de exponent.
Voor de natuurlijke logaritme geldt dat de afgeleide van ln(x) gelijk is aan 1/x, voor x > 0. Ook hier werkt de kettingregel. De afgeleide van ln(g(x)) is g'(x)/g(x).
- e^(kx) geeft k · e^(kx)
- ln(kx + m) geeft k/(kx + m)
- Een constante factor blijft staan bij het differentiëren
Bij een product of quotiënt gebruik je de productregel of de quotiëntregel. Met de afgeleiden hierboven reken je de losse delen uit.
Onthoud
Het getal e is het grondtal waarvoor de afgeleide van e^x weer e^x is.
Bij e^(g(x)) hoort altijd de factor g'(x) in de afgeleide.
De afgeleide van ln(x) is 1/x, voor x groter dan 0.
Bij ln(g(x)) komt de afgeleide g'(x) in de teller en g(x) in de noemer.
In een product of quotiënt van zulke functies gebruik je eerst de productregel of quotiëntregel.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Laat zien dat de afgeleide van F(t) = (t/a - 1/a²) · e^(at) gelijk is aan f(t) = t · e^(at), voor elke a met a ≠ 0.
- 1
Gebruik de productregel op F(t) = (t/a - 1/a²) · e^(at).
Veelgemaakte fouten
Veel leerlingen schrijven de afgeleide van e^(at) als e^(at), maar je vermenigvuldigt met de afgeleide van de exponent, dus met a.
Bij ln(g(x)) schrijven leerlingen vaak alleen 1/g(x), terwijl de afgeleide g'(x)/g(x) is.
Bij een product van twee functies zetten leerlingen de afgeleiden direct met elkaar vermenigvuldigd, maar de productregel is hier nodig.
Snel checken
Wat is de afgeleide van f(x) = e^(3x)?
Wat is de afgeleide van g(x) = ln(2x + 1)?