Lengtes berekenen met gelijkvormigheid
Met gelijkvormige driehoeken kun je lengtes uitrekenen die je niet direct kunt meten. Dit onderdeel komt vaak voor in bewijsvragen over meetkundige figuren.
Twee figuren zijn gelijkvormig als ze dezelfde vorm hebben, maar niet noodzakelijk dezelfde grootte. Alle overeenkomstige hoeken zijn dan gelijk. Alle overeenkomstige zijden hebben bovendien dezelfde verhouding.
Als je een lengte wilt berekenen, zoek je eerst twee driehoeken die gelijkvormig zijn. Bepaal daarna welke zijden bij elkaar horen. Zijden die tegenover dezelfde hoek liggen, horen altijd bij elkaar.
Daarna stel je een verhouding op tussen die zijden. Vul de bekende lengtes in en los de onbekende lengte op. Zo krijg je een lijnstuk dat je niet direct kunt meten.
Bij cirkels helpt de straal vaak. Alle stralen van één cirkel zijn even lang. Zo kun je een driehoek met twee stralen als zijden gebruiken om een verhouding op te stellen.
Onthoud
Gelijkvormige figuren hebben gelijke hoeken en evenredige zijden.
Zijden die tegenover gelijke hoeken liggen, horen bij elkaar.
Stel eerst de verhouding op en vul daarna de bekende lengtes in.
Alle stralen van één cirkel zijn even lang.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Bewijs dat CE = DF = 1/2 r2. Met figuur 1 zie je de driehoeken OBM en OEC.
- 1
Driehoek DMF heeft een hoek van 30° bij M en MD = r2, dus DF = r2 · sin(30°) = 1/2 r2.
Veelgemaakte fouten
Leerlingen koppelen zijden die niet tegenover dezelfde hoek liggen. Zoek eerst de gelijke hoeken en koppel daarna de zijden.
Leerlingen zetten de verhouding omgekeerd op. Schrijf steeds de zijde uit de ene driehoek boven de overeenkomstige zijde uit de andere.
Snel checken
Driehoek ABC is gelijkvormig met driehoek DEF, met A bij D, B bij E en C bij F. Er geldt AB = 4, BC = 6 en DE = 10. Hoe lang is EF?
In driehoek ABC ligt D op AB en E op AC, met DE evenwijdig aan BC. Er geldt AD = 3, DB = 2 en BC = 10. Hoe lang is DE?