De vergelijking en parametervoorstelling van een cirkel opstellen
Met een vergelijking of parametervoorstelling beschrijf je alle punten van een cirkel met getallen. Op het examen gebruik je deze vormen om meetkundige vragen met coördinaten op te lossen.
Een cirkel bestaat uit alle punten die op gelijke afstand r van een middelpunt M liggen. Die afstand r heet de straal.
Vergelijking met middelpunt en straal
Neem M(a, b) als middelpunt. Een punt P(x, y) ligt op de cirkel precies dan als de afstand MP gelijk is aan r. Met de stelling van Pythagoras volgt dan (x − a)² + (y − b)² = r². Dit is de vergelijking van de cirkel.
Let op: in de vergelijking staat r² en niet r. Kwadrateer de straal dus eerst voordat je hem invult.
Parametervoorstelling
Een punt op de cirkel kun je ook beschrijven met een hoek t. Dan geldt x = a + r·cos t en y = b + r·sin t. Loopt t van 0 tot 2π, dan doorloopt het punt de hele cirkel. Deze vorm gebruik je als je de coördinaten in afhankelijkheid van een hoek wilt hebben.
Van een middellijn naar een cirkel
Zijn A en B de uiteinden van een middellijn, dan ligt het middelpunt midden tussen A en B. De straal is de helft van de lengte van AB. Met die twee gegevens stel je de vergelijking meteen op.
Onthoud
De vergelijking van een cirkel met middelpunt (a, b) en straal r is (x − a)² + (y − b)² = r².
De parametervoorstelling is x = a + r·cos t en y = b + r·sin t, met 0 ≤ t < 2π.
Het middelpunt van een cirkel met middellijn AB is het midden van AB.
De straal is de helft van de lengte van AB.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Een cirkel heeft de punten A(1, 2) en B(7, 10) als uiteinden van een middellijn. Stel de vergelijking en de parametervoorstelling op.
- 1
Het middelpunt M ligt midden tussen A en B, dus M = ((1 + 7)/2, (2 + 10)/2) = (4, 6).
Veelgemaakte fouten
Je vult de straal r in het kwadraat niet in. Schrijf in de vergelijking r² en niet r, dus bij r = 5 komt er 25.
Je neemt de lengte van de middellijn als straal. Deel de lengte van AB door twee voordat je de straal gebruikt.
Je verwisselt het teken van de coördinaten van het middelpunt. Bij middelpunt (2, −3) hoort (x − 2)² + (y + 3)² = r².
Snel checken
Welke vergelijking hoort bij de cirkel met middelpunt (−2, 3) en straal 4?
Gegeven is de parametervoorstelling x = 1 + 3 cos t en y = −2 + 3 sin t. Wat zijn het middelpunt en de straal van deze cirkel?