Zwaartepunt met vectoren
Het zwaartepunt van puntmassa's bereken je met vectoren. Dit onderwerp komt terug in vraagstukken waarin je een punt op een lijn of in een vlak moet bepalen.
Een puntmassa is een massa die op één punt zit. Het zwaartepunt Z van een aantal puntmassa's is het punt waar het systeem in evenwicht is. Met vectoren reken je dat punt uit als gewogen gemiddelde van de plaatsvectoren.
Stel dat de puntmassa's m1, m2 en m3 hebben, met plaatsvectoren OA, OB en OC. Dan geldt OZ = (m1·OA + m2·OB + m3·OC) / (m1 + m2 + m3). De noemer is de totale massa. Daardoor ligt Z tussen de punten in.
Zwaardere massa's tellen zwaarder mee. Een massa van 2 trekt het zwaartepunt dus twee keer zo sterk naar zich toe als een massa van 1.
Voor de coördinaten reken je x en y apart uit. Je past de formule toe op de x-coördinaten en op de y-coördinaten. Zo krijg je de twee getallen die samen Z vormen.
Onthoud
Een zwaartepunt is een gewogen gemiddelde van de plaatsvectoren.
De wegingsfactoren zijn de massa's van de puntmassa's.
Het gewogen gemiddelde deel je door de totale massa.
Bij de berekening reken je x- en y-coördinaat apart uit.
Met een gelijke x- en y-coördinaat zet je de twee uitdrukkingen aan elkaar gelijk.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
In de vraag liggen puntmassa's in A en B met massa 2 en in C met massa 1. Gevraagd zijn de coördinaten van Z voor de waarde van p waarbij de x- en y-coördinaat gelijk zijn.
- 1
De wegingsfactoren zijn 2 voor A, 2 voor B en 1 voor C.
Veelgemaakte fouten
Je deelt de gewogen som niet door de totale massa. Deel altijd door de som van alle massa's.
Je neemt het gewone gemiddelde van de punten. Vermenigvuldig elke plaatsvector eerst met zijn eigen massa.
Je gebruikt de massa als coördinaat. De massa is alleen de wegingsfactor, de plaats komt uit de vector.
Snel checken
Twee puntmassa's liggen op de x-as. De massa van 3 kg zit in (0, 0) en de massa van 1 kg zit in (4, 0). Wat is het zwaartepunt?
Een puntmassa van 2 kg zit in A (6, 0) en een puntmassa van 1 kg zit in B (0, 3). Wat zijn de coördinaten van het zwaartepunt Z?