Exponentiële verbanden: formules en grafieken
Bij een exponentieel verband verandert de waarde per stap met een vaste factor. Met een formule en een grafiek kun je zien hoe een hoeveelheid groeit of afneemt, en dat is precies wat het examen vraagt.
Een exponentieel verband heeft de vorm y = b · g^x. Hierin is b de beginwaarde, dus de waarde bij x = 0. De factor g is de groeifactor. Bij elke stap van 1 in x wordt de y-waarde met g vermenigvuldigd.
Als g groter is dan 1, stijgt de grafiek. Als g tussen 0 en 1 ligt, daalt de grafiek. Een groei van 5 procent hoort bij g = 1,05. Een afname van 10 procent hoort bij g = 0,9. Wie 0,05 gebruikt, rekent dus met een ander verband.
Bij het tekenen begin je in het punt (0, b) op de verticale as. Daarna reken je een paar punten uit en verbind je die met een vloeiende kromme. Een exponentiële grafiek is geen rechte lijn. Bij groei wordt de toename per stap steeds groter. Bij afname wordt de daling per stap steeds kleiner.
Bij het interpreteren van een grafiek let je op de context. Het snijpunt met de verticale as geeft de beginsituatie. Een lineair verband heeft juist een vaste verandering per stap, en daar lijkt de grafiek een rechte lijn voor.
Onthoud
Een exponentieel verband heeft de vorm y = b · g^x, met b als beginwaarde.
Bij een groeifactor g groter dan 1 stijgt de grafiek, bij g tussen 0 en 1 daalt hij.
Een groei van 5 procent hoort bij de factor 1,05.
Een exponentiële grafiek is geen rechte lijn.
Het snijpunt met de verticale as is de beginwaarde b.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Gevraagd is hoeveel keer zo zwaar een kuiken is op de dag dat het vliegvlug is, vergeleken met de dag dat het ei uitkwam. Daarvoor zijn d = 0 en d = 24 nodig.
- 1
Voor d = 0 is de noemer 1,08 + 12,5 · 0,8⁰ = 1,08 + 12,5 = 13,58.
Veelgemaakte fouten
Een leerling verwart lineair met exponentieel: bij lineair groeit de waarde met een vast getal, bij exponentieel met een vaste factor per stap.
Bij groei van 5 procent wordt vaak 0,05 als factor gebruikt; reken met 1 plus het percentage, dus 1,05.
De beginwaarde b en de groeifactor g worden door elkaar gehaald; b is de start en g is de verandering per stap.
Snel checken
Een hoeveelheid wordt beschreven met N = 200 · 0,9^t, met t in jaren. Welke waarde is de groeifactor?
Gegeven is de grafiek van y = 1000 · 1,05^x. Welke bewering is juist?