Rijen: recursieve en directe formules
Een rij kun je vastleggen met een recursieve formule of met een directe formule. Op het examen moet je met allebei kunnen werken, ook om het gedrag van een rij te beredeneren.
Een rij is een rijtje getallen met een vaste volgorde. Elk getal heet een term, en u_n is de term met nummer n.
Bij een recursieve formule hoort een startwaarde, bijvoorbeeld u_0 = 3, en een regel die elke term uit de vorige berekent, zoals u_{n+1} = u_n + 4. Om u_10 te vinden moet je alle termen ervoor achter elkaar uitrekenen. Dat kost tijd en zegt weinig over het verloop op de lange termijn.
Bij een directe formule reken je elke term in één keer uit door het nummer n in te vullen. Voor de rij hierboven is dat u_n = 3 + 4n. Met n = 10 krijg je meteen u_10 = 43.
Bij een rekenkundige rij komt steeds dezelfde verandering terug, je telt dan iets op. Bij een meetkundige rij vermenigvuldig je steeds met dezelfde factor g. Die factor bepaalt hoe de rij zich gedraagt. Ligt g tussen 0 en 1, dan worden de termen steeds kleiner.
Soms bestaat er geen eenvoudige directe formule. Het logistische model P_n = r · P_{n-1} · (1 − P_{n-1}) is daar een voorbeeld van. Dan redeneer je vanuit de recursieve formule zelf, en kijk je wat er bij elke stap met de term gebeurt.
Onthoud
Een recursieve formule heeft een startwaarde en een regel die de volgende term uit de vorige haalt.
Met een directe formule reken je elke term meteen uit, zonder de tussenliggende termen.
Bij een meetkundige rij bepaalt de factor tussen 0 en 1 of de termen kleiner worden.
Let op of de rij bij u_0 of bij u_1 begint, want dat verschuift de directe formule.
Zonder directe formule redeneer je vanuit de recursieve regel, stap voor stap.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Laat zien dat P_n naar 0 nadert als r tussen 0 en 1 ligt en de startwaarde c tussen 0 en 1 ligt. Het model is recursief: P_n = r · P_{n-1} · (1 − P_{n-1}).
- 1
Elke nieuwe term P_n is het product van de drie getallen r, P_{n-1} en 1 − P_{n-1}.
Veelgemaakte fouten
Bij een recursieve formule stop je het nummer niet direct in. Reken de termen na u_0 een voor een uit.
Een meetkundige rij vermenigvuldig je met de factor. Tel je die factor niet op.
Wie de startwaarde vergeet of de verkeerde beginindex gebruikt, krijgt een verschoven rij. Controleer eerst bij welke n de rij begint.
Snel checken
Een rij is gegeven door u_0 = 3 en u_{n+1} = u_n + 4. Wat is u_3?
Een meetkundige rij heeft de directe formule u_n = 5 · 2^n. Welke recursieve formule hoort hierbij?