Kettingregel bij logaritmen en samengestelde functies
Met de kettingregel differentieer je functies die uit twee functies na elkaar zijn opgebouwd. Dit gebruik je in het examen om te laten zien hoe een spanning verandert.
Een samengestelde functie bestaat uit een buitenste en een binnenste functie. Bij de kettingregel differentieer je eerst de buitenste functie en vermenigvuldig je dat met de afgeleide van de binnenste functie.
Bij een logaritme met grondtal 10 geldt: de afgeleide van log(u) is u' gedeeld door u · ln(10). Hier is u de binnenste functie. Het getal ln(10) staat dus altijd in de noemer.
Voor deze les heb je deze onderdelen nodig:
- de machtsregel, ook voor negatieve exponenten
- de afgeleide van log(u) met de kettingregel
- het herleiden van breuken met machten
Na het differentiëren moet je vaak herleiden om het gevraagde resultaat te laten zien. In de tekst staat dat de afgeleide de vorm −0,0257 gedeeld door (2z − z²) moet krijgen. Dat lukt pas als de noemer van de logaritme wordt omgeschreven tot een gewone breuk met z² in de noemer.
Het resultaat is negatief. Zo zie je dat de spanning daalt wanneer z toeneemt.
Onthoud
Bij de kettingregel differentieer je de buitenste functie en vermenigvuldig je met de afgeleide van de binnenste functie.
De afgeleide van log(u) is u' gedeeld door u · ln(10).
Bij een negatieve macht blijft het minteken behouden: de afgeleide van z⁻¹ is −z⁻².
Na het differentiëren herleid je de uitdrukking tot de vorm die de vraag vraagt.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Toon aan dat dV/dz gelijk is aan −0,0257 gedeeld door (2z − z²), met V = 1,10 + 0,0296 · log(2z⁻¹ − 1).
- 1
De binnenste functie is u = 2z⁻¹ − 1. Haar afgeleide is u' = −2z⁻², want de afgeleide van de constante −1 is 0.
Veelgemaakte fouten
Vergeet de kettingregel niet. Differentieer de log niet alleen, maar vermenigvuldig ook met de afgeleide van wat erin staat.
Zet ln(10) in de noemer. Schrijf u' gedeeld door (u · ln(10)) en niet u' gedeeld door u.
Let op het minteken bij een negatieve macht. De afgeleide van z⁻¹ is −z⁻², niet z⁻².
Snel checken
Wat is de afgeleide van f(x) = log(3x + 1)?
Wat is de afgeleide van g(x) = log(4 − x)?