Periodieke functies: een functievoorschrift opstellen en gebruiken
Veel verschijnselen herhalen zich na een vaste tijd, zoals getijden, daglicht en temperatuur. Met een sinusfunctie beschrijf je zo'n verschijnsel, en met het functievoorschrift reken je de situatie door.
Bij een periodiek verschijnsel herhaalt de waarde zich na een vaste tijd. Het functievoorschrift heeft de vorm a·sin(b(x − c)) + d, zoals in B4.2 is afgesproken. Elk getal in dat voorschrift betekent iets in de situatie.
De evenwichtsstand d ligt midden tussen het hoogste en het laagste punt. De amplitude a is de helft van het verschil tussen maximum en minimum. De periode reken je uit met 2π gedeeld door b. Lees de maximale en minimale waarde af uit de tekst of uit de grafiek.
Met het voorschrift los je vragen op. Zet de functie gelijk aan de gegeven waarde en los de sinusvergelijking op. Let op het gegeven interval. Binnen één periode heeft een sinus meestal twee oplossingen, dus zoek beide.
Na het rekenen lees je de uitkomst terug in de situatie. Een tijdstip hoort bij een hoogte. Een tijdsduur vind je door twee tijdstippen van elkaar af te trekken.
Onthoud
De evenwichtsstand is het midden tussen het hoogste en het laagste punt.
De amplitude is de helft van het verschil tussen maximum en minimum.
De periode is 2π gedeeld door b.
Bij een gegeven waarde zoek je binnen het interval meestal twee oplossingen per periode.
Na het rekenen vertaal je de uitkomst terug naar de situatie met eenheden.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Het getij bij een kade wordt beschreven door h(t) = 2,5 + 1,0·sin(π/6·(t − 2)), met h in meter en t in uren na middernacht. Op welke tijdstippen tussen 0 en 12 uur staat het water op 3,0 meter, en hoe lang staat het dan boven 3,0 meter?
- 1
Het voorschrift heeft d = 2,5 en a = 1,0, dus het water schommelt tussen 1,5 en 3,5 meter.
Veelgemaakte fouten
Leerlingen lezen de amplitude af als het hele verschil tussen maximum en minimum. Neem de helft van dat verschil.
Leerlingen delen de periode niet door b. Reken de periode altijd uit als 2π gedeeld door b.
Leerlingen geven één oplossing per periode op. Zoek bij een sinusvergelijking binnen het interval meestal beide oplossingen.
Snel checken
Bij de functie h(t) = 2,5 + 1,0·sin(π/6·(t − 2)) is de periode gelijk aan hoeveel uur?
Wat is de evenwichtsstand van de functie h(t) = 2,5 + 1,0·sin(π/6·(t − 2))?