De raaklijn aan een cirkel in een gegeven punt
Een raaklijn raakt een cirkel in precies één punt. Met deze methode stel je de vergelijking van zo'n raaklijn op als je het raakpunt kent, en dat komt vaak voor in het examen.
Een cirkel met middelpunt O heeft in elk punt P een straal OP. De raaklijn in P staat loodrecht op die straal. Daarom heb je twee dingen nodig: de richtingscoëfficiënt van OP en het punt P.
Werkwijze:
- Bepaal de richtingscoëfficiënt van OP met de formule (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).
- Neem het negatieve omgekeerde. Dat is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn.
- Vul de richtingscoëfficiënt en de coördinaten van P in y = ax + b in. Zo vind je b.
Je kunt ook controleren of de lijn de cirkel maar in één punt snijdt. Vul de vergelijking van de lijn in de cirkelvergelijking in. Dan krijg je een kwadratische vergelijking met discriminant 0. Die uitkomst bevestigt dat de lijn raakt.
Let op: de richtingscoëfficiënt van de raaklijn is het negatieve omgekeerde, niet alleen het negatieve getal. Bij OP met richtingscoëfficiënt 4/3 wordt dat −3/4.
Onthoud
De raaklijn in P staat loodrecht op de straal OP.
Het negatieve omgekeerde van de richtingscoëfficiënt van OP geeft de raaklijn.
Vul het raakpunt in y = ax + b in om b te berekenen.
Een discriminant gelijk aan 0 bij substitutie in de cirkelvergelijking betekent één snijpunt.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Cirkel c heeft vergelijking x² + y² = 25 en P(−3, −4) ligt op c. Bewijs dat y = −3/4x − 6¼ een vergelijking van de raaklijn l in P is.
- 1
De richtingscoëfficiënt van OP is (−4 − 0) / (−3 − 0) = 4/3.
Veelgemaakte fouten
Je zet de richtingscoëfficiënt van OP zonder omkeren en tekenwisseling over als raaklijn, maar de raaklijn krijgt het negatieve omgekeerde.
Je vergeet het raakpunt in y = ax + b in te vullen, waardoor b niet klopt.
Je ziet een discriminant van 0 niet als bewijs van één snijpunt, terwijl dat juist aantoont dat de lijn raakt.
Snel checken
Cirkel c heeft vergelijking x² + y² = 25. Welke vergelijking heeft de raaklijn in het punt P(3, 4)?
Cirkel c heeft vergelijking x² + y² = 10. Welke vergelijking heeft de raaklijn in het punt P(1, 3)?