Een lijn opstellen met een vergelijking of parametervoorstelling
Een lijn beschrijf je met een vergelijking of met een parametervoorstelling. In het examen stel je zo'n lijn vaak zelf op, bijvoorbeeld door een punt heen loodrecht op een andere lijn.
Een lijn kun je op twee manieren beschrijven. Bij de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt. Een richtingsvector van die lijn is dan (1, a).
Bij een parametervoorstelling begin je bij een punt op de lijn. Daarna voeg je steeds een veelvoud van de richtingsvector toe. Zo ontstaat (x, y) = (x₀, y₀) + t·(r, s). Het punt (x₀, y₀) is het beginpunt en (r, s) de richtingsvector.
Voor een lijn loodrecht op een gegeven lijn zoek je een richtingsvector die loodrecht op de richtingsvector van de gegeven lijn staat. Wissel de coördinaten van (r, s) om en verander één teken. Dan krijg je (−s, r) of (s, −r). Het skalaire product van die twee vectoren is dan nul.
Met een punt en een richtingsvector heb je de lijn volledig. Het punt gebruik je als beginpunt, en de richtingsvector bepaalt de richting. Wil je de vergelijking, dan bereken je eerst de richtingscoëfficiënt en vul je daarna het punt in om b te vinden.
- Een punt van de lijn geeft het beginpunt.
- Een richtingsvector geeft de richting.
- Een loodrechte richting krijg je door de coördinaten om te wisselen en één teken te veranderen.
Onthoud
Een parametervoorstelling bestaat uit een beginpunt en een richtingsvector.
De richtingscoëfficiënt van y = ax + b is a en de richtingsvector is (1, a).
Een loodrechte richtingsvector van (r, s) is (−s, r).
Met een punt en een richtingsvector stel je de lijn op.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Gevraagd is om te bewijzen dat de coördinaten van P' kloppen. P' is de loodrechte projectie van P op lijn k, en P ligt op de middelloodlijn van AB.
- 1
Lijn k heeft de vectorvoorstelling (x, y) = (0, 20) + t·(1, −1). Daaruit volgt de vergelijking y = −x + 20.
Veelgemaakte fouten
Veel leerlingen nemen de richtingsvector van k ook voor de loodrechte lijn. Gebruik een vector die loodrecht op (1, −1) staat, bijvoorbeeld (1, 1).
Wie alleen de richting opschrijft, vergeet het beginpunt. Begin de parametervoorstelling altijd bij een punt dat op de lijn ligt, zoals P.
Snel checken
Lijn k heeft de vectorvoorstelling (x, y) = (0, 20) + t·(1, −1). Welke vectorvoorstelling hoort bij de lijn door P(2, 5) loodrecht op k?
Lijn l heeft de vergelijking y = 2x + 5. Welke lijn gaat door (1, 4) en staat loodrecht op l?