Snijpunten berekenen met vergelijkingen
Een snijpunt is het punt waar twee figuren elkaar kruisen of raken. Met algebra bereken je de coördinaten exact, zonder de figuur precies te tekenen.
Een snijpunt ligt op beide figuren. De coördinaten voldoen dus aan beide vergelijkingen. Daarom los je die twee vergelijkingen samen op. Dit heet een stelsel.
Bij twee lijnen, zoals y = 2x + 1 en y = −x + 4, stel je de rechterkanten aan elkaar gelijk. Zo houd je één variabele over. Na het berekenen van x vul je die waarde in een van de lijnen in om y te vinden.
Bij een lijn en een cirkel werkt het net zo. Vul de lijn in de cirkelvergelijking in. Dan ontstaat een tweedegraadsvergelijking. Die los je op met ontbinden in factoren of met de abc-formule. Er zijn dan twee, één of geen snijpunten, afhankelijk van de discriminant.
Bij twee cirkels trek je de twee vergelijkingen van elkaar af. Daarna blijft een lineaire vergelijking over. Die lijn gaat door de snijpunten. Combineer haar daarom met één van de cirkels.
- Controleer aan het eind of het punt in beide oorspronkelijke vergelijkingen past.
Onthoud
Een snijpunt voldoet aan beide vergelijkingen.
Bij twee lijnen stel je de rechterkanten aan elkaar gelijk.
Bij een lijn en een cirkel ontstaat een tweedegraadsvergelijking.
Bij twee cirkels trek je de vergelijkingen van elkaar af, zo blijft een lijn over.
Vul de gevonden x altijd terug in om de y-coördinaat te bepalen.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Bereken de snijpunten van lijn k met y = x + 1 en cirkel c met (x − 1)² + y² = 4.
- 1
Vul y = x + 1 in de cirkelvergelijking in.
Veelgemaakte fouten
Leerlingen berekenen vaak alleen de x-coördinaat. Vul de x-waarde daarna in een van de vergelijkingen in om y te vinden.
Leerlingen zien bij een kwadratische vergelijking maar één oplossing. Reken de discriminant uit en noteer alle oplossingen die er zijn.
Leerlingen nemen bij twee cirkels één van de cirkels als antwoord. Trek de vergelijkingen af en combineer de lijn die dan ontstaat met een cirkel.
Snel checken
Wat zijn de snijpunten van de lijn y = 2x en de cirkel x² + y² = 5?
Wat zijn de coördinaten van het snijpunt van de lijnen y = x + 1 en y = −x + 3?