Exponentiële verbanden: beginwaarde, groeifactor en halvering
Een exponentieel verband laat een grootheid steeds met dezelfde factor veranderen. Dit onderwerp komt in het examen terug bij groei, afname, halveringstijd en verdubbelingstijd.
Bij een exponentieel verband verandert een grootheid per stap met steeds dezelfde factor. Die factor is de groeifactor g. De formule is N = b · g^t, met b de beginwaarde en t het aantal stappen, bijvoorbeeld jaren of uren.
Het groeipercentage p hoort bij de groeifactor. Bij groei geldt g = 1 + p/100, bij afname geldt g = 1 − p/100. Een groei van 3% geeft dus g = 1,03, en een afname van 3% geeft g = 0,97.
Bij een halveringstijd is de groeifactor 0,5 per halveringstijd. Na één halveringstijd is de helft over, na twee halveringstijden een kwart. Bij een verdubbelingstijd is de groeifactor 2 per verdubbelingstijd.
Let erop dat de tijdseenheid van t past bij de tijdseenheid van de halveringstijd of het groeipercentage. Anders reken je met het verkeerde aantal stappen.
Onthoud
Een exponentieel verband heeft de vorm N = b · g^t.
Bij groei hoort g = 1 + p/100, bij afname g = 1 − p/100.
Een halveringstijd betekent een groeifactor van 0,5 per halveringstijd.
Een verdubbelingstijd betekent een groeifactor van 2 per verdubbelingstijd.
Let erop dat t dezelfde tijdseenheid heeft als de halveringstijd of het groeipercentage.
Voorbeeld uit een echt examen
ex2
Bij deze vraag reken je de afmetingen van een B10-vel uit. Het B0-vel is 1000 mm bij 1414 mm.
- 1
Van B0 naar B10 zijn er tien halveringen van het oppervlak.
Veelgemaakte fouten
Het groeipercentage per stap optellen bij de beginwaarde is fout. Vermenigvuldig in plaats daarvan met de groeifactor 1 + p/100 per stap.
Halveringstijd en verdubbelingstijd door elkaar halen is een veelgemaakte fout. Bij halvering reken je met 0,5 per tijdseenheid, bij verdubbeling met 2.
Bij drie halveringstijden reken je met 0,5 tot de derde macht. Vermenigvuldig niet met 3 maar gebruik de macht.
Snel checken
Een bacteriekolonie telt 800 bacteriën en groeit elk uur met 25%. Hoeveel bacteriën zijn er na 2 uur?
De halveringstijd van een radioactieve stof is 5 jaar. Hoeveel procent van de oorspronkelijke hoeveelheid is na 10 jaar nog over?