Rijen: een directe of recursieve formule opstellen
Een rij is een lijst getallen in een vaste volgorde. Met een directe of recursieve formule beschrijf je zo'n rij, en op het examen moet je die formule vaak zelf opstellen.
Elk getal in een rij heet een term. Bij een recursieve formule reken je elke term uit de vorige. Je geeft dus de eerste term en een regel die van de ene term naar de volgende gaat.
Bij een directe formule reken je elke term meteen uit, als je het nummer n kent. Je hoeft dan de andere termen niet eerst te berekenen.
Bij een rekenkundige rij tel je steeds hetzelfde getal op. Dat getal is het verschil d. De recursieve formule is uₙ₊₁ = uₙ + d. De directe formule is uₙ = u₁ + (n − 1) · d.
Bij een meetkundige rij vermenigvuldig je steeds met hetzelfde getal. Dat getal is de groeifactor r. De recursieve formule is uₙ₊₁ = r · uₙ. De directe formule heeft de vorm uₙ = b · rⁿ.
Bij een meetkundige rij met de directe vorm b · rⁿ bepaal je eerst r. Daarna zoek je b met een gegeven term. Zo vind je de formule die bij de hele rij past.
Onthoud
Een recursieve formule gaat van de ene term naar de volgende, een directe formule geeft elke term direct.
Bij een rekenkundige rij is het verschil d steeds gelijk, en de term verandert met een vaste stap.
Bij een meetkundige rij is de groeifactor r steeds gelijk, en de term wordt steeds met r vermenigvuldigd.
Bij de directe formule b · rⁿ vind je eerst r en daarna b met een gegeven term.
Voorbeeld uit een echt examen
ex2
Gevraagd is een directe formule P(n) = b · rⁿ voor het percentage n-linggeboorten. De recursieve formule geeft het verband tussen de termen.
- 1
Uit de recursieve formule volgt dat elke volgende term 1/89 keer de vorige is, dus r = 1/89.
Veelgemaakte fouten
Je verwart het verschil d met de groeifactor r. Bij een rekenkundige rij tel je op, bij een meetkundige rij vermenigvuldig je, dus kijk eerst welke van de twee het is.
Je rekent met de verkeerde index. Bij uₙ = u₁ + (n − 1) · d hoort het aantal stappen n − 1, niet n, dus controleer het eerste getal eerst.
Je vergeet b te bepalen na het vinden van r. Gebruik een gegeven term van de rij om b uit te rekenen, anders klopt de directe formule niet.
Snel checken
Een rekenkundige rij begint met 3, 7, 11, 15, … Welke directe formule hoort hierbij?
Een meetkundige rij begint met u₁ = 200. Elke term is 10% kleiner dan de vorige. Welke recursieve formule hoort hierbij?