Exponentiële functies: beginwaarde en groeifactor
Bij een exponentiële functie verandert de waarde steeds met dezelfde factor. Met de beginwaarde en de groeifactor leg je zo'n verband vast, en je leest het af uit een context.
Zo'n functie schrijf je als f(t) = b · g^t. Hierin is b de beginwaarde en g de groeifactor.
De beginwaarde b is de waarde op het moment t = 0. Het is het punt waar de grafiek de verticale as snijdt.
De groeifactor g zegt hoeveel keer de waarde groter of kleiner wordt per eenheid van t. Let op: g is een factor, geen percentage. Bij 8 procent groei is g gelijk aan 1,08.
Als g groter is dan 1, groeit de functie. Als g tussen 0 en 1 ligt, neemt de functie af.
De eenheid van t bepaalt de waarde van g. Gaat het over 40 minuten in plaats van over 1 minuut, dan hoort daar een andere groeifactor bij. Om van de ene naar de andere eenheid te gaan, neem je een machtswortel. Van 40 minuten naar 1 minuut neem je de 40e machtswortel van de factor per 40 minuten.
Onthoud
De beginwaarde b is de waarde van f(0), het snijpunt met de verticale as.
De groeifactor g is de factor per eenheid van t, geen percentage.
Bij g groter dan 1 groeit de functie, bij g tussen 0 en 1 neemt ze af.
Verandert de tijdseenheid, dan verandert ook g, en dat reken je om met een machtswortel.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Gevraagd is de groeifactor per minuut in vijf decimalen, bij het verband P = 4,5 · g^t. Met de tekst weet je dat t = 0 bij 5 minuten koken hoort.
- 1
Het percentage is 4,5 bij t = 0. Bij 45 minuten koken is t = 40, want 45 min 5 min is 40.
Veelgemaakte fouten
Schrijf de groeifactor niet als percentage. Bij 8 procent groei is g gelijk aan 1,08, en niet 8.
Let bij t op het startmoment. Het moment t = 0 is het moment waarop het bier 5 minuten kookt, dus 45 minuten geeft t = 40.
Gebruik de factor per 40 minuten niet als groeifactor per minuut. Neem eerst de 40e machtswortel van die factor.
Snel checken
Een exponentiële functie is f(t) = 200 · 0,9^t. Wat is de beginwaarde?
Een hoeveelheid is 50 en groeit elke eenheid met 8 procent. Wat is de groeifactor g?