Exponentiële vergelijkingen oplossen naar x met een logaritme
Bij een exponentiële functie kun je de formule omdraaien, zodat je x uit y berekent. Dat heb je nodig bij examenvragen waarin je een exponent wilt vinden bij een gegeven waarde.
Bij een exponentiële functie staat x in de exponent. Om x uit een gegeven y te halen, maak je de macht ongedaan. Dat doe je met een logaritme.
De werkwijze is altijd hetzelfde. Eerst isoleer je de macht, dus de term met het grondtal. Daarna schrijf je de vergelijking om naar een logaritme met hetzelfde grondtal. Zo geldt: als a^x = b, dan is x de logaritme met grondtal a van b.
Let op de volgorde. Eerst trek je af, tel je op of deel je. Pas daarna neem je de logaritme. Een getal dat voor de macht staat, werk je dus eerst weg.
Bij een formule met een getal erbij gaat het net zo. Bij y = 8,052 · 1,037^x + 23,73 haal je eerst 23,73 weg. Daarna deel je door 8,052. Dan staat de macht alleen. Pas dan neem je de logaritme met grondtal 1,037.
De logaritme is de omgekeerde bewerking van de macht. Daarom kun je met de logaritme altijd terugrekenen naar x.
Onthoud
Isoleer eerst de macht, dus de term met het grondtal.
Neem de logaritme met hetzelfde grondtal als de macht.
Als a^x = b, dan is x = log met grondtal a van b.
Werk constanten weg voordat je de logaritme neemt.
Voorbeeld uit een echt examen
ex2
Bij deze vraag schrijf je de formule voor de zwangerschapsduur d om naar een formule voor de afstand a. De macht met a moet dus alleen komen te staan.
- 1
Met de formule d = 8,052 · 1,037^a + 23,73 haal je eerst 23,73 naar de andere kant.
Veelgemaakte fouten
Veel leerlingen delen de exponent door het grondtal. Neem in plaats daarvan de logaritme met het grondtal van de macht.
Leerlingen nemen de logaritme voordat ze de constante hebben weggewerkt. Werk eerst de optelling en deling weg, en neem daarna pas de logaritme.
Snel checken
Bij de functie f met f(x) = 2^x ligt een punt met y-coördinaat 10. Welke uitdrukking geeft de x-coördinaat van dat punt?
Gegeven is y = 3 · 1,5^x. Welke formule geeft x uitgedrukt in y?