Stip
Zet me op de lijst

vergelijkingen van het type () oplossen in een gegeven interval met f een functie als in B4.2. genoemd en daarbij gebruik maken van periodiciteit en symmetrie;

Sinds 2018 11× de hoofdzaak van een examenvraag, voor het laatst in 2026.
Oefen dit onderwerp

Goniometrische vergelijkingen oplossen op een interval

Bij een goniometrische vergelijking zoek je alle waarden van x die in het gegeven interval passen. Periodiciteit en symmetrie helpen je om alle oplossingen te vinden, niet alleen de eerste.

Een sinus- of cosinusfunctie herhaalt zich. Daarom heeft een vergelijking vaak oneindig veel oplossingen. Op een gegeven interval tel je alleen de oplossingen die erin vallen.

Eerst los je de vergelijking op voor de basishoek. Bij sin(u) = 0,5 is de basishoek π/6. De sinus is positief in het eerste en tweede kwadrant, dus u = π/6 + 2kπ of u = π − π/6 + 2kπ, dus u = 5π/6 + 2kπ.

Als het argument ax + b is, los je eerst op naar dat argument en daarna naar x. Bij sin(2x) = 0,5 deel je door 2. De periode van de oplossingen in x is dan π, en niet 2π.

Tot slot vul je k in. Je begint bij k = 0 en gaat net zo lang door tot je buiten het interval komt. Controleer je antwoorden door ze terug in de vergelijking in te vullen.

Onthoud

  • Een sinus of cosinus heeft oneindig veel oplossingen, dus het interval bepaalt welke je telt.

  • Vind eerst de basishoek met de symmetrie van de eenheidscirkel of de grafiek.

  • Bij sin(ax + b) is de periode van de oplossingen 2π/a, en niet 2π.

  • Vul k = 0, 1, 2 en verder in tot je de grens van het interval voorbij bent.

  • Controleer elke oplossing door hem in de oorspronkelijke vergelijking in te vullen.

Voorbeeld uit een echt examen

none

Los sin(2x) = 0,5 op in het interval 0 ≤ x ≤ 2π.

  1. 1

    Schrijf de algemene oplossing voor het argument: 2x = π/6 + 2kπ of 2x = 5π/6 + 2kπ.

Veelgemaakte fouten

  • Je deelt de periode niet door a. Bij sin(2x) is de periode van de oplossingen π, dus reken met kπ en niet met 2kπ.

  • Je vergeet de tweede basishoek. Een sinuswaarde geeft twee oplossingen per periode, dus zoek ook π − basishoek.

  • Je stopt bij de eerste periode. Tel alle k door tot je buiten het interval bent, anders mis je oplossingen.

Snel checken

Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking cos(x) = −0,5 in het interval 0 ≤ x ≤ 2π?

Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking sin(x) = 1 in het interval 0 ≤ x ≤ 4π?