De lokale afgeleide als helling in een punt
Een afgeleide laat zien hoe steil een grafiek is in één punt. Dat helpt je om te zien hoe snel een grootheid op een bepaald moment verandert.
Een grafiek kan op het ene punt steil lopen en op een ander punt vlak. De lokale afgeleide meet die steilheid in één punt. Je noemt dat de helling van de grafiek in dat punt.
Bij een rechte lijn is de helling overal hetzelfde. Bij een kromme grafiek verandert de helling van punt tot punt. Daarom heb je de helling in één punt nodig, en niet over een lang stuk.
De helling in een punt is de helling van de raaklijn in dat punt. Die raaklijn raakt de grafiek in het punt en volgt de kromme daar het best. Zo laat de raaklijn zien hoe de grafiek er op dat moment uitziet.
Het teken van de afgeleide zegt iets over de grafiek. Een positieve afgeleide betekent dat de grafiek stijgt. Een negatieve afgeleide betekent dat de grafiek daalt. Bij een top of een dal is de afgeleide nul.
Een grote afgeleide hoort bij een steile grafiek. Een kleine afgeleide hoort bij een vlakke grafiek. Het gaat altijd om de waarde van de afgeleide in het punt dat je bekijkt.
Onthoud
De lokale afgeleide is de helling van de grafiek in één punt.
De helling in een punt is de helling van de raaklijn in dat punt.
Een positieve afgeleide betekent een stijgende grafiek en een negatieve afgeleide een dalende grafiek.
Bij een top of een dal is de afgeleide nul.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Gegeven is de functie f(x) = x². Bepaal de helling van de grafiek van f in het punt met x = 3.
- 1
De afgeleide van f(x) = x² is f'(x) = 2x.
Veelgemaakte fouten
Je gebruikt de functiewaarde f(3) = 9 als helling, maar de helling is f'(3) = 6.
Je neemt het verschil in y over een groot interval als helling in één punt, maar dan krijg je een gemiddelde helling. Kies een klein interval rond het punt of gebruik de afgeleide.
Snel checken
Gegeven is f(x) = x². Wat is de helling van de grafiek van f in het punt met x = 3?
In een punt P van de grafiek van f is de helling negatief. Wat betekent dat voor de grafiek van f bij P?