Asymptoten en limietgedrag
Een asymptoot is een lijn die de grafiek steeds dichter nadert zonder hem te raken. Met limieten bewijs je precies welke lijn dat is, en dit onderwerp komt vaak terug in het examen.
Een asymptoot is een lijn waar de grafiek steeds dichter naartoe gaat. Met limieten onderzoek je wat er gebeurt als x heel groot of heel klein wordt, of als x nadert naar een waarde waar de functie niet bestaat.
Horizontale asymptoot: bereken de limiet van f(x) voor x naar oneindig of voor x naar min oneindig. Als die limiet een getal c is, dan is y = c een horizontale asymptoot.
Verticale asymptoot: kijk naar x = a waar de functie niet gedefinieerd is, meestal waar de noemer nul wordt. Als de limiet van links of van rechts oneindig is, dan is x = a een verticale asymptoot.
Scheve asymptoot: als f(x) min (ax + b) naar nul gaat voor x naar oneindig, dan is y = ax + b een scheve asymptoot. Bereken eerst a = lim f(x)/x en daarna b = lim (f(x) min ax).
Bij breuken met e-machten deel je teller en noemer door de hoogste macht van e. Zo zie je direct welke limiet ontstaat.
Onthoud
Een horizontale asymptoot volgt uit de limiet van f(x) voor x naar oneindig of min oneindig.
Een verticale asymptoot hoort bij x = a waar de noemer nul is en de limiet oneindig wordt.
Een scheve asymptoot y = ax + b volgt uit a = lim f(x)/x en b = lim (f(x) min ax).
Bij e-machten deel je teller en noemer door de hoogste macht van e om de limiet te zien.
Voorbeeld uit een echt examen
ex2
In de figuur is de grafiek van f getekend met de scheve asymptoten. Je moet bewijzen dat de scheve asymptoten y = min x min 1 en y = min x + 9 zijn.
- 1
Schrijf f(x) = 10eˣ/(eˣ + 1) min x min 1 en splits de functie in twee delen.
Veelgemaakte fouten
Vergeet niet de teller te controleren bij x = a, want als die ook nul is, is er een gat en geen asymptoot.
Schrijf bij een verticale asymptoot x = a en niet y = a, want y = a is een horizontale lijn.
Bereken bij een scheve asymptoot ook b met de limiet van f(x) min ax, en stop niet na het bepalen van a.
Snel checken
Wat is de horizontale asymptoot van f(x) = 10eˣ/(eˣ + 1) voor x naar oneindig?
Wat is de verticale asymptoot van h(x) = (2x + 1)/(x min 3)?