Perforaties en limieten
Een perforatie is een gat in een grafiek dat je met limieten vindt. Het onderwerp komt regelmatig terug in het centraal examen wiskunde B vwo.
Een perforatie is een gat in de grafiek. De functie is in dat punt niet gedefinieerd, maar de limiet bestaat wel. Zo'n gat ontstaat vaak wanneer teller en noemer allebei nul zijn voor dezelfde x.
Bij een breuk zoek je eerst de x-waarden waar de noemer nul is. Controleer daarna of de teller daar ook nul is. Is dat zo, dan kun je de breuk vereenvoudigen, meestal door te ontbinden in factoren.
Na het vereenvoudigen vul je de x-waarde in de vereenvoudigde functie in. Dat geeft de y-coördinaat van de perforatie. Je berekent dit met de limiet van f(x) voor x naar dat getal.
Daarbij vergelijk je de linker- en de rechterlimiet. Zijn die gelijk, dan bestaat de limiet. Verschillen ze, dan bestaat de limiet niet, en is er geen perforatie.
Onthoud
Een perforatie ontstaat als teller en noemer allebei nul zijn voor dezelfde x.
Vereenvoudig de breuk door te ontbinden in factoren en val de gemeenschappelijke factor weg.
De y-coördinaat van de perforatie is de limiet van f(x) voor x naar het gegeven getal.
Linker- en rechterlimiet moeten gelijk zijn, anders bestaat de limiet niet.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Bereken exact de coördinaten van de twee perforaties van f(x) = (2sin(x) − 1)/(4sin²(x) − 1) voor 0 ≤ x ≤ π.
- 1
Bij een perforatie zijn teller en noemer allebei nul. Eerst de teller: 2sin(x) − 1 = 0, dus sin(x) = 1/2.
Veelgemaakte fouten
Een nul van de noemer betekent niet vanzelf een perforatie. Controleer eerst of de teller daar ook nul is.
Leerlingen geven alleen de x-coördinaat op. Vul de x-waarde in de vereenvoudigde functie in, dan heb je ook de y-coördinaat.
Leerlingen vereenvoudigen de breuk en vergeten de limiet. Het gat krijgt de waarde van de limiet, niet de waarde van de vereenvoudigde functie zelf.
Snel checken
Gegeven is f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Welke perforatie heeft de grafiek van f?
Gegeven is f(x) = |x|/x. Wat geldt voor de limiet van f(x) voor x naar 0?