Snelheid en versnelling van een bewegend punt
Een bewegend punt heeft een vectoriële snelheid, een baansnelheid en versnellingen. Het examen vraagt vaak om die grootheden uit de bewegingsvergelijkingen x(t) en y(t) te berekenen.
De plaats van een punt P hangt af van de tijd t. Die geven we met x(t) en y(t). De vectoriële snelheid is de verandering van de plaats per tijdseenheid. Daarvoor leidt u elke coördinaat af naar t, dus v = (dx/dt, dy/dt).
De vectoriële versnelling is de afgeleide van de vectoriële snelheid. Daarom is a = (d²x/dt², d²y/dt²).
De baansnelheid is de lengte van de snelheidsvector. Die lengte berekent u met de stelling van Pythagoras. Dus baansnelheid = √((dx/dt)² + (dy/dt)²). Let op: dit is geen afgeleide van een coördinaat, maar de lengte van de vector.
De baanversnelling is de verandering van de baansnelheid per tijdseenheid. Dus u leidt de baansnelheid af naar t. Die baanversnelling is niet hetzelfde als de lengte van de vectoriële versnelling.
Bij een vraag naar de snelheid op een bepaald moment leidt u eerst af. Pas daarna vult u het tijdstip in.
Onthoud
De vectoriële snelheid bestaat uit de afgeleiden van x(t) en y(t) naar t.
De vectoriële versnelling is de afgeleide van de vectoriële snelheid.
De baansnelheid is de lengte van de snelheidsvector, dus √(vx² + vy²).
De baanversnelling is de afgeleide van de baansnelheid naar t.
Voorbeeld uit een echt examen
ex2
Een punt P heeft x(t) = 1 − t² en y(t) = (1 + t)². Bereken exact de snelheid van P in punt A, het snijpunt van de baan met de y-as dat niet de oorsprong is.
- 1
Punt A ligt op de y-as, dus x(t) = 0. Dan geldt 1 − t² = 0, zodat t = −1 of t = 1.
Veelgemaakte fouten
Leerlingen zien de afgeleide van de baansnelheid als vectoriële versnelling. Bereken de vectoriële versnelling en de baanversnelling apart, elk met hun eigen definitie.
Ze vergeten de wurtel te nemen bij de baansnelheid. Neem altijd de wortel van de som van de kwadraten.
Ze vullen het tijdstip te vroeg in. Leid eerst af en vul daarna pas de waarde van t in.
Snel checken
Een punt P heeft x(t) = t² en y(t) = 3t. Wat is de baansnelheid van P op t = 2?
Een punt P heeft x(t) = t³ en y(t) = 2t. Wat is de baanversnelling van P op t = 1?