Extremen bepalen en controleren met de afgeleide
Met de afgeleide vind je waar een functie een maximum of minimum heeft. In het examen moet je vaak ook bewijzen dat een gegeven waarde echt een extreem oplevert.
Bij een extreem heeft de grafiek een horizontale raaklijn. De afgeleide is daar dus nul.
Maar niet elk nulpunt van de afgeleide is een extreem. Daarom kijk je ook naar het teken van de afgeleide rond het nulpunt.
- Gaat de afgeleide van positief naar negatief, dan is er een maximum.
- Gaat de afgeleide van negatief naar positief, dan is er een minimum.
- Blijft het teken gelijk, dan is er geen extreem, ook al is de afgeleide nul.
Bij verifiëren weet je al welk punt het extreem zou zijn. Dan controleer je twee dingen: de afgeleide is nul in dat punt, en het teken van de afgeleide wisselt daar op de juiste manier. Een schets van het teken helpt daarbij.
Bij het bepalen van extremen zoek je eerst de nulpunten van de afgeleide. Daarna onderzoek je het teken links en rechts van elk nulpunt. Zo vind je zowel de plaats als het soort extreem.
Onthoud
Bij een extreem is de afgeleide nul, omdat de raaklijn dan horizontaal is.
Een nulpunt van de afgeleide is nog geen bewijs van een extreem.
Het teken van de afgeleide links en rechts van het punt laat zien of het een maximum of minimum is.
Oplossingen van de afgeleide die buiten de context vallen, vervallen.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Bij de vraag moet je bewijzen dat de maximale waarde van 1 − p³ − p² + p bereikt wordt bij p = 1/3.
- 1
De afgeleide van 1 − p³ − p² + p is −3p² − 2p + 1.
Veelgemaakte fouten
Een nulpunt van de afgeleide is niet vanzelf een extreem. Kijk daarna altijd naar het teken rond dat punt.
Maximum en minimum worden vaak verwisseld. Bepaal eerst welk teken de afgeleide links en rechts heeft, en leid daaruit het soort extreem af.
Oplossingen die niet passen bij de context blijven staan. Controleer of een gevonden waarde past bij de betekenis van de variabele.
Snel checken
Voor de functie f(x) = x² − 6x + 5 geldt f'(x) = 2x − 6. Waar ligt het minimum van f?
Van een functie f is bekend dat f'(2) = 0. Welke uitspraak is zeker juist?