Inverse functies opstellen
Bij dit onderwerp stel je het functievoorschrift van de inverse op van een machtsfunctie, exponentiële functie of logaritmische functie. Je gebruikt dit vaak om vergelijkingen op te lossen en om grafieken te spiegelen in de lijn y = x.
Een inverse functie draait de werking van een functie om. Als f een getal x omzet in y, dan zet de inverse y weer terug in x.
Om het voorschrift van de inverse op te stellen, schrijf je eerst y = f(x). Daarna wissel je x en y om en los je y weer op. Zo krijg je x als functie van y, en die schrijf je als je de letters weer gebruikt.
Bij de exponentiële functie f(x) = e^x is de inverse g(x) = ln(x). Bij f(x) = ln(x + 1) los je eerst op naar x. Dan geldt x + 1 = e^y, dus x = e^y − 1. Na omwisselen is de inverse y = e^x − 1.
Bij een machtsfunctie met een even macht moet je het domein beperken. Anders is er geen eenduidige inverse. Bij f(x) = x^2 kies je bijvoorbeeld x ≥ 0. Dan is de inverse y = √x.
Het bereik van f wordt het domein van de inverse. Controleer dat altijd bij je antwoord.
Onthoud
De inverse draait de werking van de functie om.
Je schrijft y = f(x), wisselt x en y om en lost op naar y.
Bij een even macht beperk je het domein zodat de inverse eenduidig is.
Het bereik van f is het domein van de inverse.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Bereken exact de waarde van p waarvoor de afstand AB tot 1 nadert als a onbegrensd toeneemt. De functie f is ln(x + 1) en g is ln(px).
- 1
De afstand AB is het verschil van de y-coördinaten, dus ln(a + 1) − ln(pa).
Veelgemaakte fouten
Je wisselt x en y niet om, of vergeet om na het omwisselen op te lossen naar y. Doe het omwisselen altijd na het schrijven van y = f(x).
Je vergeet het domein van de inverse te bepalen. Kijk daarom eerst naar het bereik van de oorspronkelijke functie.
Snel checken
Wat is het functievoorschrift van de inverse van f(x) = e^x − 2?
Wat is het functievoorschrift van de inverse van f(x) = 2x^4 voor x ≥ 0?