Vergelijkingen die je herleidt tot een kwadratische vergelijking
Veel vergelijkingen zien er niet kwadratisch uit, maar zijn dat na een paar stappen wel. Op het centraal examen moet je zo'n vergelijking herleiden en oplossen, en de oplossingen controleren op de context.
Een kwadratische vergelijking heeft de vorm ax² + bx + c = 0. Die los je op met de abc-formule, of sneller door te ontbinden in factoren of door wortels te trekken.
Veel vergelijkingen zijn dat niet meteen. Eerst herleid je ze. Breuken haal je weg door met de noemer te vermenigvuldigen. Daarna zet je alles op één kant, zodat het andere lid nul is. Dan herken je de vorm weer.
Bij de abc-formule geldt x = (−b ± √D) / 2a, met D = b² − 4ac. Is D positief, dan zijn er twee oplossingen. Is D nul, dan is er één oplossing. Is D negatief, dan is er geen oplossing.
Let daarna op de context. Een wiskundige oplossing hoeft niet bij de situatie te passen. Een lengte is nooit negatief. Bij een functie als f(x) = 1/x geldt x > 0, dus een negatieve wortel valt af.
Zo controleer je of je antwoord klopt. Vul de oplossing terug in de oorspronkelijke vergelijking in.
Onthoud
Herleid eerst naar de vorm ax² + bx + c = 0, bijvoorbeeld door breuken weg te werken.
Bepaal met D = b² − 4ac hoeveel oplossingen er zijn.
Kijk bij elke oplossing of die past bij de context, zoals een positieve lengte.
Controleer je antwoord door het terug in te vullen in de oorspronkelijke vergelijking.
Voorbeeld uit een echt examen
ex2
Een vierkant ligt onder de grafiek van f(x) = 1/x, met linksonder het hoekpunt (1, 0). Het hoekpunt rechtsboven ligt op de grafiek. Bereken exact de lengte van de zijde.
- 1
Noem de lengte van de zijde p. Het hoekpunt rechtsboven ligt dan op (1 + p, p).
Veelgemaakte fouten
Schrijf een breuk niet eerst om tot een vorm zonder noemer, want dan klopt de herleiding niet. Vermenigvuldig beide kanten met de noemer.
Neem bij de abc-formule niet beide wortels over zonder de context te bekijken. Controleer of een lengte of afstand wel positief kan zijn.
Vergeet bij een herleiding niet alles op één kant te zetten. Zet het andere lid op nul voordat je de abc-formule gebruikt.
Snel checken
Los op voor x > 0: 1/x = x + 1. Welke oplossing klopt?
Welke uitspraak over de vergelijking x² − 9 = 0 is juist?