Afgeleide als helling van een grafiek in een punt
De afgeleide vertelt hoe steil de grafiek van een functie is in één punt. Bij het centraal examen gebruik je dit vaak om een punt te vinden met een gegeven helling.
De afgeleide f'(a) geeft de helling van de grafiek van f in het punt met x = a. Het gaat om de steilheid precies in dat ene punt. Die helling is ook de helling van de raaklijn in het punt (a, f(a)).
Een lijnstuk tussen twee punten van de grafiek heeft een andere helling. Die helling is de gemiddelde verandering over het interval. Daarom mag je de helling van een lijnstuk niet zonder meer gelijkstellen aan f(a). Wel stel je de afgeleide gelijk aan de helling van het lijnstuk.
Zo werkt het bij een vraag over een gegeven helling. Eerst bereken je de helling van het lijnstuk met de twee punten. Daarna stel je f'(x) gelijk aan die helling en los je de vergelijking op. De x-waarde die je dan vindt, is het gezochte punt.
Onthoud
De afgeleide f'(a) is de helling van de grafiek in het punt met x = a.
De helling van een lijnstuk tussen twee punten is de gemiddelde verandering over dat interval.
Bij een gegeven helling stel je f'(x) gelijk aan die helling en los je op.
Met de regels voor machten bepaal je eerst de afgeleide van de functie.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Gevraagd is een punt tussen A en B op de grafiek van f waar de helling gelijk is aan de helling van lijnstuk AB, met f(x) = 3/√x. Daarvan geef je de x-coördinaat als p-wortel van q.
- 1
Met f(x) = 3·x^(−½) volgt f'(x) = −1,5·x^(−3/2).
Veelgemaakte fouten
Je gebruikt de helling van het lijnstuk als f(a) in plaats van f'(a). Bereken eerst de afgeleide en stel die gelijk aan de lijnstukhelling.
Je past de regels voor machten verkeerd toe bij een negatieve of breukexponent. Schrijf de functie eerst als macht van x en werk dan stap voor stap door.
Je vergeet het minteken van de helling bij het lijnstuk. Reken het verschil in y-waarden altijd in dezelfde volgorde als het verschil in x-waarden.
Snel checken
Wat is de helling van de grafiek van f(x) = x² in het punt waar x = 3?
Wat is de helling van de grafiek van f(x) = x³ in het punt waar x = −1?