Afstanden berekenen met coördinaten
Met coördinaten kun je afstanden tussen punten, lijnen en cirkels exact uitrekenen. Dat is handig bij bewijzen en bij vragen over onderlinge ligging.
Met coördinaten kun je afstanden in een assenstelsel direct uitrekenen. Een tekening is dan niet nodig.
Afstand tussen twee punten
Voor de punten A(x₁, y₁) en B(x₂, y₂) geldt: AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Dit is de stelling van Pythagoras, toegepast op het verschil in x en het verschil in y.
Afstand van een punt tot een lijn
Voor de lijn ax + by + c = 0 en het punt P(p, q) geldt: d = |ap + bq + c| / √(a² + b²). Dit is de loodrechte afstand. Je hoeft het voetpunt dus niet eerst uit te rekenen.
Lijn en cirkel
De cirkel heeft middelpunt M en straal r. Reken de afstand d van M tot de lijn uit. Dan geldt: is d kleiner dan r, dan snijdt de lijn de cirkel in twee punten. Is d gelijk aan r, dan raakt de lijn de cirkel. Is d groter dan r, dan ligt de lijn buiten de cirkel.
Punt en cirkel
De kortste afstand van een punt P tot een cirkel met middelpunt M en straal r is |MP − r|. Dit geldt zowel voor punten binnen als buiten de cirkel.
Onthoud
De afstand tussen twee punten volgt uit de stelling van Pythagoras.
Bij een punt en een lijn ax + by + c = 0 hoort de formule met de absolute waarde in de teller.
Met de afstand van het middelpunt tot een lijn zie je of de lijn een cirkel snijdt, raakt of mist.
Bij een punt en een cirkel trek je de straal af van de afstand tot het middelpunt.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Bereken de afstand van het punt P(2, −1) tot de lijn 3x − 4y + 5 = 0.
- 1
De lijn 3x − 4y + 5 = 0 heeft a = 3, b = −4 en c = 5.
Veelgemaakte fouten
Leerlingen laten de absolute waarde in de teller weg, zodat er een negatieve afstand kan ontstaan. Neem de absolute waarde van het hele getal in de teller.
Ze schrijven de noemer als √(a + b) in plaats van √(a² + b²). Kwadrateer eerst a en b en tel die daarna op.
Bij een cirkel vergelijken ze de afstand met de diameter of met r². Vergelijk de afstand van het middelpunt met de straal r.
Snel checken
Wat is de afstand tussen de punten A(1, 2) en B(4, 6)?
Wat is de afstand van het middelpunt van de cirkel x² + y² = 25 tot de lijn 3x + 4y = 20?