De afgeleide van standaardfuncties
Met de afgeleide reken je uit hoe snel een functie verandert. In het examen gebruik je de afgeleide van machtsfuncties vaak in contexten zoals vergeten of golven.
De afgeleide van een functie f geeft de verandering van f op één moment. Je schrijft die als f′(x). Voor de standaardfuncties gebruik je vaste regels. Die regels moet je uit je hoofd kennen.
Bij een lineaire functie f(x) = ax + b is de afgeleide gewoon a. De grafiek is een rechte lijn, dus de helling is overal gelijk. Bij een machtsfunctie f(x) = xⁿ geldt f′(x) = n·xⁿ⁻¹. De macht gaat dus één omlaag en de oude macht komt ervoor te staan. Bij een constante vermenigvuldiging blijft die constante gewoon staan. Dus bij 3x⁻² wordt de afgeleide 3 · (−2) · x⁻³, dat is −6x⁻³.
Bij een exponentiële functie f(x) = gˣ geldt f′(x) = gˣ · ln(g). De afgeleide is dus niet gewoon gˣ. Bij een logaritmische functie f(x) = ln(x) geldt f′(x) = 1/x. Gebruik altijd de juiste regel voor het type functie.
Als een vraag over veranderingsgedrag gaat, reken je de afgeleide uit en vul je een waarde in. Een positieve afgeleide betekent stijgen. Een negatieve afgeleide betekent dalen. De grootte van de afgeleide zegt hoe snel de verandering gaat.
Onthoud
Bij f(x) = ax + b is de afgeleide altijd a
Bij f(x) = xⁿ is de afgeleide n·xⁿ⁻¹
Bij een constante factor blijft die factor staan
Bij f(x) = gˣ is de afgeleide gˣ · ln(g)
Een afgeleide vertelt hoe snel en in welke richting de functie verandert
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Bij deze vraag is P het percentage informatie dat onthouden is en t het aantal dagen. Je moet laten zien hoeveel keer zo groot de vergeetsnelheid na één uur is ten opzichte van na één week.
- 1
Schrijf de formule als een machtsfunctie: P = 31,7 · t⁻⁰,¹²⁷
Veelgemaakte fouten
Je verlaagt de macht niet met één, of je vergeet de oude macht voor de nieuwe macht te zetten. Schrijf bij xⁿ eerst n en daarna n−1 als nieuwe macht.
Je differentieert gˣ alsof het xⁿ is. Bij een exponentiële functie hoort de factor ln(g) in de afgeleide.
Je rekent met de tijd in uren terwijl de formule met dagen werkt. Zet eerst alle tijden om naar dezelfde eenheid.
Snel checken
Wat is de afgeleide van f(x) = 5x³ − 2x?
Wat is de afgeleide van g(x) = 3x⁻²?