Vergelijkingen met exponenten en logaritmen herleiden
Bij dit onderwerp los je een vergelijking op waarin de onbekende in een exponent of logaritme zit, door hem te herleiden tot een vorm die je al kent. Het komt op het examen voor als je moet bewijzen of aantonen welke snijpunten twee grafieken hebben.
Een vergelijking met een onbekende in de exponent of in een logaritme los je op door hem eerst te herleiden. Als beide kanten als macht van hetzelfde grondtal te schrijven zijn, mag je de exponenten aan elkaar gelijkstellen. Staat er log(f(x)) = log(g(x)), dan geldt f(x) = g(x). Staat er log(f(x)) = g(x), dan schrijf je dit als f(x) = 10^g(x) en los je verder op.
Na het herleiden krijg je vaak een gewone vergelijking, bijvoorbeeld een kwadratische. Die los je op met ontbinden in factoren of de abc-formule. Controleer bij logaritmen altijd of de argumenten positief zijn: alleen oplossingen die daaraan voldoen, zijn geldig.
Bij een bewijs over snijpunten is het sterkste argument dat een kwadratische vergelijking hoogstens twee oplossingen heeft. Als je twee oplossingen hebt gevonden, zijn dat dus de enige.
Onthoud
Schrijf beide kanten als macht van hetzelfde grondtal, en stel dan de exponenten aan elkaar gelijk.
Bij logaritmen geldt: gelijke logaritmen geven gelijke argumenten, mits de argumenten positief zijn.
Controleer of elke gevonden oplossing in het oorspronkelijke domein past.
Een kwadratische vergelijking heeft hoogstens twee oplossingen; zo bewijs je dat je oplossingen compleet zijn.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Bewijs dat de grafieken van f en g alleen in de punten A(0,1) en B(3,8) snijden. Je moet dus laten zien dat de vergelijking f(x) = g(x) geen andere oplossingen heeft.
- 1
Herleid de vergelijking f(x) = g(x) door beide kanten als macht van hetzelfde grondtal te schrijven.
Veelgemaakte fouten
Je stelt grondtallen gelijk in plaats van exponenten. Maak eerst de grondtallen gelijk en stel daarna pas de exponenten aan elkaar gelijk.
Je controleert de argumenten van een logaritme niet. Reken altijd na of ze positief zijn voordat je een oplossing geldig verklaart.
Je geeft alleen de gevonden oplossingen zonder te onderbouwen dat er geen andere zijn. Gebruik het argument dat een kwadratische vergelijking hoogstens twee oplossingen heeft.
Snel checken
Los op: 2^(x+1) = 2^(3x−5).
Los op: log(x + 2) = log(2x − 1).