Middelpunt en straal van een cirkel uit de vergelijking
Een cirkelvergelijking verbergt het middelpunt en de straal. Met kwadraat afmaken haal je die gegevens zichtbaar uit de vergelijking, en dat komt vaak op het examen voor.
Een cirkel met middelpunt (a, b) en straal r heeft de vergelijking (x − a)² + (y − b)² = r². Aan deze vorm zie je het middelpunt en de straal meteen.
Een vergelijking in de vorm x² + y² + px + qy + c = 0 zet je eerst om. Eerst groepeer je de x-termen en de y-termen apart. Van x² + px maak je (x + p/2)² − (p/2)². Hetzelfde doe je voor y.
Daarna haal je de constante naar de andere kant. Het getal aan de rechterkant is r². Het middelpunt lees je af uit de haakjes. Let op het teken: in (x + 4)² ligt het middelpunt op x = −4.
- Middelpunt: (−p/2, −q/2) als de vergelijking met x² en y² begint.
- Straal: de wortel uit de rechterkant.
Als de rechterkant negatief is, is er geen cirkel. Als hij nul is, blijft alleen het middelpunt over.
Onthoud
De vorm (x − a)² + (y − b)² = r² geeft meteen het middelpunt (a, b) en de straal r.
Met kwadraat afmaken herschrijf je x² + px en y² + qy tot de vorm met haakjes.
Het getal rechts is r², dus de straal is de wortel daaruit.
Een negatieve rechterkant betekent dat er geen cirkel is. Bij nul blijft alleen een punt over.
Voorbeeld uit een echt examen
none
Gegeven is de vergelijking x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0. Bepaal het middelpunt en de straal van de cirkel.
- 1
Groepeer de x-termen en de y-termen: (x² − 6x) + (y² + 4y) = 3.
Veelgemaakte fouten
Het teken van de coördinaten verkeerd lezen. Bij (x + 4)² ligt het middelpunt op x = −4, dus lees de getallen af met het tegengestelde teken.
De rechterkant gelijk aan de straal nemen. Het getal rechts is r², dus neem de wortel om de straal te vinden.
Bij het kwadraat afmaken de extra constante vergeten. Schrijf (x − 3)² − 9 en neem de −9 mee naar de andere kant van de vergelijking.
Snel checken
Gegeven is de vergelijking x² + y² + 8x − 2y + 8 = 0. Welke uitspraak is juist?
Gegeven is de vergelijking x² + y² − 4x + 2y + 5 = 0. Welke uitspraak is juist?