Snijpunten van een lijn en een cirkel
Een lijn en een cirkel snijden elkaar in nul, één of twee punten. Met algebra reken je exact uit waar die punten liggen, ook bij raakvragen op het examen.
Een lijn en een cirkel snijden elkaar in nul, één of twee punten. De snijpunten vind je met substitutie.
Vul de y van de lijn in de vergelijking van de cirkel in. Dan houd je een vergelijking over met alleen x.
Werk de haakjes uit en zet alles naar één kant. Zo ontstaat een kwadratische vergelijking in x, die je oplost met ontbinden, kwadraat afsplitsen of de abc-formule.
Elke oplossing voor x hoort bij één snijpunt. Met die x vul je de lijnvergelijking in om de bijbehorende y te berekenen.
Het aantal oplossingen vertelt iets over de ligging. Twee verschillende oplossingen betekenen twee snijpunten. Eén dubbele oplossing betekent dat de lijn de cirkel raakt, en dan is het raakpunt het enige gemeenschappelijke punt. Geen oplossing betekent dat de lijn de cirkel mist.
Onthoud
Substitueer de lijnvergelijking in de cirkelvergelijking, zodat er alleen nog x overblijft.
Na het herleiden krijg je een kwadratische vergelijking die je oplost.
Bij elke oplossing voor x hoort een y die je met de lijnvergelijking berekent.
Een dubbele oplossing betekent dat de lijn de cirkel raakt in één punt.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Bij deze vraag is de cirkel gegeven door x² + y² = 6x + 6y − 13 en de lijn l door y = 2x + 2. Het raakpunt A moet exact worden berekend.
- 1
Bij de cirkel vul je y = 2x + 2 in: x² + (2x + 2)² = 6x + 6(2x + 2) − 13.
Veelgemaakte fouten
Je berekent wel x, maar vergeet y. Vul elke gevonden x in de lijnvergelijking in om het bijbehorende punt te krijgen.
Bij (2x + 2)² hoort het dubbele product 8x erbij. Schrijf het kwadraat eerst uit als (2x + 2)(2x + 2).
Een dubbele oplossing zie je makkelijk over het hoofd. Tel de verschillende oplossingen om te zien of de lijn snijdt of raakt.
Snel checken
Een cirkel heeft vergelijking x² + y² = 4 en de lijn heeft vergelijking y = x. Wat zijn de snijpunten?
Een cirkel heeft vergelijking x² + y² = 5 en de lijn heeft vergelijking y = x + 1. Wat zijn de snijpunten?