Inhoud van een omwentelingslichaam om de x-as
Bij dit onderwerp reken je de inhoud uit van een lichaam dat ontstaat als een vlakdeel om de x-as draait. Het komt vaak voor in het centraal examen, omdat je hier integralen opstelt en exact uitrekent.
Een omwentelingslichaam ontstaat als je een vlakdeel om een as draait. Bij draaien om de x-as maak je van elk klein stukje een schijfje of een ring.
Een schijfje is een dunne cilinder. Zijn straal is gelijk aan de functiewaarde op die plek. Het volume van zo'n schijfje is π · r² · dx. Door alle schijfjes op te tellen krijg je een integraal:
V = π ∫ van a tot b van r(x)² dx
Ligt het vlakdeel tussen twee grafieken, dan zit er een gat in het midden. Dan trek je het volume van het binnenste lichaam af van dat van het buitenste. Zo ontstaat een ring per schijfje:
V = π ∫ van a tot b van (R(x)² − r(x)²) dx
Hierbij is R(x) de bovenste grafiek en r(x) de onderste. Beide worden gemeten vanaf de x-as. Eerst kwadrateer je de functies en trek je het verschil af. Daarna pas integreer je.
De grenzen a en b zijn de x-coördinaten waar het vlakdeel begint en eindigt. Die lees je af uit een tekening of los je op uit de vergelijkingen. Het getal π blijft in de uitkomst staan tot je moet afronden.
Onthoud
Elk schijfje is een cirkel met straal gelijk aan de functiewaarde.
Het volume van een schijfje is π · r² · dx.
Ligt het vlakdeel tussen twee grafieken, dan geldt π ∫ (R² − r²) dx.
De grenzen zijn de x-coördinaten waar het vlakdeel begint en eindigt.
Eerst kwadrateren, dan het verschil nemen, en pas daarna integreren.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Het vlakdeel V ligt tussen de horizontale lijn door A, de verticale lijn door B en de grafiek van f. Het draait om de x-as. Bereken de inhoud algebraïsch.
- 1
Met de punten A(1, 3) en B(9, 1) ligt V tussen x = 1 en x = 9. De bovenste grens is de lijn y = 3.
Veelgemaakte fouten
Leerlingen trekken de functies eerst van elkaar af en kwadrateren daarna, maar het moet andersom: eerst de kwadraten, dan het verschil.
Wie het gat in het midden vergeet, rekent met een volle schijf in plaats van een ring. Trek dan het volume van het binnenste lichaam af.
Een verkeerde grens geeft een verkeerd resultaat. Lees de grenzen af uit de tekening of los de snijpunten op.
Snel checken
Het vlakdeel ligt tussen y = 4 en y = x² voor 0 ≤ x ≤ 2. Het draait om de x-as. Welke integraal geeft de inhoud?
Het vlakdeel ligt tussen de grafiek van y = √x en de x-as voor 0 ≤ x ≤ 4. Het draait om de x-as. Welke integraal geeft de inhoud?