Hoeken en afstanden met het inproduct
Met het inproduct rereken je hoeken tussen vectoren en afstanden uit. Op het centraal examen gebruik je het vaak om te laten zien dat twee lijnen loodrecht op elkaar staan.
Het inproduct van twee vectoren a en b schrijf je als a · b. Met coördinaten is a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂. Het inproduct hangt ook samen met de hoek tussen de vectoren. Er geldt a · b = |a|·|b|·cos(θ), waarbij θ de hoek tussen a en b is.
Daaruit volgt een formule voor de hoek. Met cos(θ) = (a · b) / (|a|·|b|) vind je θ door de cosinus om te keren. Voor de lengte van een vector geldt |a| = √(a · a) = √(a₁² + a₂²). De afstand tussen twee punten is de lengte van de vector tussen die punten.
Let op deze gevolgtrekkingen:
- Staan twee vectoren loodrecht op elkaar, dan is hun inproduct 0.
- Is het inproduct positief, dan is de hoek scherp. Is het negatief, dan is de hoek stomp.
- Bij een hoek heb je altijd de lengtes van beide vectoren nodig.
Onthoud
Het inproduct a · b is a₁·b₁ + a₂·b₂ als je de coördinaten kent.
Met cos(θ) = (a · b) / (|a|·|b|) reken je de hoek tussen twee vectoren uit.
Een inproduct van 0 betekent dat de vectoren loodrecht op elkaar staan.
De lengte van een vector is √(a · a), en daarmee reken je afstanden uit.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Onderzoek of de vectoren BS en HD loodrecht op elkaar staan. Het gaat om rechthoek ADEH met drie vierkanten, en S is het snijpunt van AF en HD.
- 1
In de figuur is AB = (1 0) en AH = (0 1), dus A is de oorsprong van het assenstelsel.
Veelgemaakte fouten
Veel leerlingen delen het inproduct niet door de lengtes van de vectoren bij een hoek. Gebruik altijd cos(θ) = (a · b) / (|a|·|b|).
Sommigen rekenen met de coördinaten van de punten in plaats van met de vector ertussen. Gebruik eerst de vector, bijvoorbeeld BS = S − B.
Een inproduct van 0 wordt soms verward met een lege vector. Het betekent alleen dat de vectoren loodrecht op elkaar staan.
Snel checken
Gegeven zijn de vectoren u = (2 1) en v = (−1 2). Wat is u · v?
Gegeven zijn de vectoren a = (1 0) en b = (1 1). Hoe groot is de hoek tussen a en b?