Telproblemen: permutaties en combinaties
Bij een telprobleem tel je hoeveel verschillende uitkomsten er mogelijk zijn. Het verschil tussen permutaties en combinaties bepaalt welke formule je gebruikt, en dat komt op het centraal examen vaak terug.
Bij een telprobleem wil je weten hoeveel verschillende uitkomsten er zijn. Twee begrippen komen daarbij steeds terug.
Permutaties zijn rangschikkingen, waarbij de volgorde meetelt. Zet je n verschillende voorwerpen op een rij, dan zijn er n! manieren. Voor vijf verschillende boeken op een plank zijn dat dus 5! = 120 manieren.
Combinaties zijn keuzes, waarbij de volgorde niet meetelt. Het aantal manieren om k voorwerpen uit n te kiezen is C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!). Zo werkt het: je telt alle rangschikkingen en deelt daarna door het aantal manieren waarop de gekozen voorwerpen onderling kunnen wisselen.
Sommige voorwerpen zijn niet van elkaar te onderscheiden. Dan deel je het aantal permutaties door het aantal wisselingen van die gelijke voorwerpen. Zo ontstaat de formule 25! / (4!)⁶ voor de kleurenpatronen in de Rubik's Race-opgave.
Vraag jezelf eerst af of de volgorde verschil maakt. Maakt de volgorde niet uit, dan reken je met een combinatie.
Onthoud
Maakt de volgorde verschil uit, dan reken je met n! of een permutatie.
Maakt de volgorde niet uit, dan reken je met C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!).
Zijn sommige voorwerpen gelijk, dan deel je door het aantal wisselingen van die gelijke voorwerpen.
Tel de stappen van de situatie achter elkaar op, en vermenigvuldig de aantallen per stap.
Voorbeeld uit een echt examen
ex2
Tien kinderen worden verdeeld over twee draaiers en twee teams van vier. Hoeveel verschillende verdelingen zijn er mogelijk?
- 1
Kies eerst de twee draaiers uit tien kinderen. De volgorde van de draaiers doet er niet toe, dus dit is een combinatie: C(10, 2) = 45 manieren.
Veelgemaakte fouten
Leerlingen rekenen met een combinatie terwijl de volgorde wel meetelt. Gebruik dan n! of een permutatie in plaats van C(n, k).
Leerlingen vergeten te delen door het aantal wisselingen van gelijke groepen. Tel eerst de keuzes en deel daarna door het aantal manieren waarop de gelijke groepen kunnen wisselen.
Leerlingen zien teams als onderscheidbaar. Deel door 2 wanneer twee teams van gelijke grootte niet te onderscheiden zijn.
Snel checken
Hoeveel manieren zijn er om vijf verschillende boeken in een rij op een plank te zetten?
Een klas van twaalf leerlingen kiest een comité van drie leerlingen. De volgorde in het comité maakt niet uit. Hoeveel verschillende comités zijn er?