Raaklijn opstellen met de afgeleide
Met de afgeleide bepaal je de vergelijking van een raaklijn. Dit onderwerp komt op het examen terug in vragen waarin je moet bewijzen dat een lijn een raaklijn is.
De afgeleide f'(a) geeft de helling van de grafiek in het punt met x = a. Een raaklijn heeft in dat punt dezelfde helling als de grafiek.
De vergelijking van een raaklijn schrijf je als y = ax + b. De helling a is f'(a). Het getal b vind je door de coördinaten van het raakpunt in te vullen.
Daarbij gebruik je de volgende stappen:
- bepaal f'(x) en vul de x-waarde van het raakpunt in om de helling te vinden
- vul de coördinaten van het raakpunt in de vergelijking in om b te berekenen
- controleer of het raakpunt op de gevonden lijn ligt
In het examen krijg je soms een lijn en moet je laten zien dat die lijn de raaklijn is. Dan reken je de vergelijking na met deze stappen. Het raakpunt moet op de grafiek liggen en de helling moet kloppen.
Onthoud
De helling van de raaklijn in x = a is f'(a).
Het raakpunt ligt op zowel de grafiek als op de raaklijn.
Vul de coördinaten van het raakpunt in y = ax + b in om b te berekenen.
Een lijn die aan de grafiek raakt, heeft in dat punt dezelfde helling als de grafiek.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Bij deze vraag moet je bewijzen dat de gegeven lijn l de raaklijn is aan de grafiek van f in het punt R. Je gebruikt de afgeleide en de coördinaten van R.
- 1
Bepaal eerst de afgeleide f'(x) van de functie f.
Veelgemaakte fouten
Gebruik f'(a) als helling en niet f(a). De functiewaarde geeft de hoogte van het punt, de afgeleide geeft de steilheid.
Vul het raakpunt in om b te berekenen. Zonder het raakpunt kun je de vergelijking niet compleet maken.
Controleer of het raakpunt echt op de grafiek ligt. Een lijn met de juiste helling kan ook langs de grafiek lopen zonder te raken.
Snel checken
Welke uitdrukking geeft de helling van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt met x = a?
Wat is de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f(x) = x² in het punt (2, 4)?