Raaklijn in een punt opstellen
Met de afgeleide bepaal je de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in een punt van een grafiek, en daarmee de vergelijking van die raaklijn. Dit komt in het centraal examen vaak terug, bijvoorbeeld wanneer je moet laten zien waar een raaklijn de y-as snijdt.
De afgeleide f'(p) geeft de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt (p, f(p)). Met dat punt en die richtingscoëfficiënt stel je de vergelijking van de raaklijn op:
y = f'(p)·(x − p) + f(p)
Je werkt altijd in dezelfde stappen:
- bepaal de x-coördinaat p van het raakpunt en de waarde f(p);
- bereken f'(x) en vul p in om f'(p) te vinden;
- vul alles in de formule in en werk de haakjes uit.
Wil je weten waar de raaklijn de y-as snijdt, dan vul je x = 0 in. Dat geeft y = f(p) − p·f'(p). In een examenopgave hoef je deze formule niet uit het hoofd te kennen; je kunt hem steeds uit de vergelijking van de raaklijn afleiden.
Onthoud
De afgeleide f'(p) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt met x-coördinaat p.
De raaklijn heeft de vergelijking y = f'(p)·(x − p) + f(p).
Voor het snijpunt met de y-as vul je x = 0 in.
Het raakpunt moet op de grafiek liggen: gebruik f(p), niet alleen p.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Bewijs dat lijnstuk AC altijd lengte 1 heeft, waarbij A het snijpunt van y = a met de y-as is, B het snijpunt van y = a met de grafiek van f(x) = ln(3x), en C het snijpunt van de raaklijn in B met de y-as.
- 1
Snijpunt B: ln(3x) = a geeft 3x = e^a, dus x = (1/3)e^a.
Veelgemaakte fouten
Schrijf de afgeleide van ln(3x) als 1/(3x) in plaats van 1/x; de kettingregel geeft 3 · 1/(3x) = 1/x.
Los ln(3x) = a niet correct op: schrijf beide kanten als macht van e, zodat 3x = e^a en x = (1/3)e^a.
Vul niet de x-coördinaat van het raakpunt in f'(x), maar een andere waarde zoals a; gebruik altijd de x-coördinaat van het punt waar de raaklijn ligt.
Snel checken
Wat is de vergelijking van de raaklijn aan f(x) = x² in het punt (3, 9)?
Wat is de vergelijking van de raaklijn aan f(x) = ln(x) in het punt waar x = e²?