Extremen bepalen en controleren met de afgeleide
Met de afgeleide vind je waar een grafiek een top heeft en controleer je of een gevonden punt echt een extreme waarde is. Dit komt steeds terug in de examenvragen over optimaliseren en bewijzen.
Een extreme waarde, een maximum of minimum, zit meestal op een punt waar de afgeleide nul is. Je lost dus f'(x) = 0 op. Dat geeft kandidaten, maar nog geen zekerheid.
Om te controleren of zo'n punt echt een top is, kijk je naar het teken van f'. Verandert f' van teken, dan is er een extreem. Gaat f' van positief naar negatief, dan is het een maximum. Gaat f' van negatief naar positief, dan is het een minimum.
Bij een vraag naar een minimum of maximum werk je zo:
- stel de afgeleide op en los f'(x) = 0 op
- controleer of f' bij dat punt van teken wisselt
- reken de bijbehorende functiewaarde uit als de vraag daarom vraagt
Bij een bewijs of berekening moet je de gegevens uit de vraag gebruiken. Schrijf elke stap op, dan kan de corrector je redenering volgen.
Onthoud
Een extreem zit meestal op een punt waar f'(x) = 0.
Verandert f' van teken bij dat punt, dan is het een echte top.
Positief naar negatief geeft een maximum, negatief naar positief een minimum.
Vergeet niet de functiewaarde uit te rekenen als de vraag die vraagt.
Voorbeeld uit een echt examen
ex2
Bij deze vraag moet je bewijzen dat de top van f op de lijn l met vergelijking y = (1/e)x ligt. De functie is f(x) = x·e^(ax) met a > 0.
- 1
Stel de afgeleide gelijk aan nul: f'(x) = e^(ax) + ax·e^(ax) = e^(ax)(1 + ax) = 0.
Veelgemaakte fouten
Je zet f'(x) = 0 gelijk aan het extreem zonder te kijken of f' van teken verandert, zo kan een buigpunt of vlak punt meetellen. Controleer altijd het teken van f' links en rechts van het punt.
Je vergeet bij een optimaliseringsvraag de bijbehorende y-waarde te berekenen, terwijl de vraag daarom vraagt. Reken de functiewaarde uit door de x-waarde in f in te vullen.
Snel checken
Gegeven is f(x) = x² - 4x. Wat is de x-coördinaat van het extreem van f?
Een functie f heeft een maximum in x = 3. Welk tekenverloop van f' past daarbij?