Oppervlakte tussen twee grafieken met een bepaalde integraal
Met een bepaalde integraal reken je de oppervlakte van een vlakdeel uit dat door twee grafieken wordt ingesloten. Dit is een vast onderdeel van het examen, en de figuur helpt je bij de keuze van de juiste integraal.
Een bepaalde integraal geeft de oppervlakte van een vlakdeel. Je hebt twee grafieken nodig en een interval op de x-as waarover het vlakdeel loopt.
Bepaal eerst welke grafiek boven de andere ligt. Dat zie je in de figuur, of je rekent het uit met één x-waarde uit het interval. Het verschil tussen de bovenste en de onderste grafiek is de hoogte van een dun strookje. Telt die strookjes over het hele interval op, dan krijg je de oppervlakte.
Daarom schrijf je de oppervlakte als integraal van het verschil:
Oppervlakte = ∫ van a tot b van (bovenste functie min onderste functie) dx
De grenzen a en b zijn meestal snijpunten van de twee grafieken. Soms staan ze al in de opgave.
Daarna reken je de integraal uit met een primitieve. Vul de bovengrens in, trek de waarde bij de ondergrens ervan af, en je hebt de oppervlakte. Let op dat de functies in de juiste volgorde staan.
Bij goniometrische functies helpt een gegeven herleiding je vaak. Met die herleiding maak je het verschil eenvoudiger te primitiveren.
Onthoud
De oppervlakte is de integraal van de bovenste functie min de onderste functie.
De grenzen van de integraal zijn de x-waarden van de snijpunten of de gegeven grenzen.
Een primitieve controleer je door te differentiëren.
Een gegeven herleiding gebruik je om de functie makkelijker te integreren.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Gevraagd is de exacte oppervlakte van het gebied V tussen f en g op het interval van −½π tot 1½π.
- 1
Bij x = 0 geldt g(0) = 2 en f(0) = 0, dus g ligt boven f.
Veelgemaakte fouten
Je trekt de functies in de verkeerde volgorde af. Trek altijd de onderste functie af van de bovenste, zodat de integrand niet negatief wordt.
Je vergeet bij de primitieve de kettingregel of de factor van de sinus. Differentieer je primitieve terug om te controleren of je weer de oorspronkelijke functie krijgt.
Snel checken
Een vlakdeel wordt begrensd door de grafiek van y = x + 2 en de grafiek van y = x². Het gebied ligt tussen x = −1 en x = 2. Welke integraal geeft de oppervlakte?
Een vlakdeel wordt begrensd door de grafiek van y = 4 − x² en de x-as. Welke integraal geeft de oppervlakte van dit vlakdeel?