Baan en snelheid van een bewegend punt
Een bewegend punt heeft op elk tijdstip een plaats die je met tijdsafhankelijke vergelijkingen beschrijft. Bij het examen reken je met de baan, de snelheid en de helling tussen twee bewegende punten.
Een bewegend punt heeft op elk tijdstip t een plaats. Die plaats geef je met de twee bewegingsvergelijkingen x(t) en y(t). Samen vormen ze de tijdsafhankelijke vectorvoorstelling van de beweging.
De baan is de meetkundige plaats van alle punten die het punt doorloopt. Om de baan te vinden haal je t weg uit de twee vergelijkingen. Zo krijg je een verband tussen x en y, zoals een lijn of een kromme.
De snelheid vind je met de afgeleide naar de tijd. Die afgeleide is een vector met de coördinaten x'(t) en y'(t). De grootte van de snelheid is de lengte van die vector, dus v = √(x'(t)² + y'(t)²).
Bij het uitrekenen helpt deze volgorde:
- Vertaal de vraag naar een vergelijking in t.
- Werk de breuk of de kwadraten uit.
- Reken tot slot de coördinaten uit op het gevraagde tijdstip.
De helling van lijnstuk PQ op tijdstip t is (y_Q − y_P)/(x_Q − x_P). Beide punten krijgen dus dezelfde t, en die t komt in teller en noemer terecht.
Onthoud
Een tijdsafhankelijke vectorvoorstelling geeft de plaats van het punt op elk tijdstip t.
De baan vind je door t weg te halen uit x(t) en y(t).
De snelheid is de afgeleide van de positie naar de tijd.
De grootte van de snelheid is de lengte van de snelheidsvector.
De helling van PQ gebruikt de coördinaten van P en Q op hetzelfde tijdstip t.
Voorbeeld uit een echt examen
ex1
Bij deze vraag zoek je het tijdstip waarop de helling van PQ gelijk is aan 4/3. Daarna reken je de coördinaten van P uit.
- 1
Uit de bewegingsvergelijkingen volgt P = (8t², 4 − 4t²) en Q = (1 + 3t, 4t).
Veelgemaakte fouten
Reken de helling niet met alleen de x-waarden. Gebruik het verschil van de y-coördinaten gedeeld door het verschil van de x-coördinaten.
Verwar de positie niet met de snelheid. Leid eerst de bewegingsvergelijkingen af naar de tijd om de snelheid te krijgen.
Vul een gevonden tijdstip altijd in beide vergelijkingen in. Zo zie je of het punt echt op de baan ligt.
Snel checken
Een punt heeft de positie x(t) = 3t + 1 en y(t) = 2t². Wat is de snelheid van het punt op t = 2?
Een punt beweegt met x(t) = t + 1 en y(t) = 2t − 3. Welke vergelijking beschrijft de baan van dit punt?